Questões Sobre Produtos Notáveis e Fatoração - Matemática - concurso

Vamos analisar cada alternativa para encontrar a que apresenta uma expressão cujo valor lógico é verdadeiro.

Alternativa A: (4y + 2z < 8x) ou (3z – 2y = 3x + 5)

Substituindo os valores de x, y e z, temos:

(4(12) + 2(15) < 8(9)) ou (3(15) – 2(12) = 3(9) + 5)

(48 + 30 < 72) ou (45 – 24 = 27 + 5)

(78 < 72) ou (21 = 32)

A primeira expressão é falsa e a segunda também, portanto essa alternativa é falsa.

Alternativa B: (2z = x + y) ou (x + y – z < 5)

Substituindo os valores de x, y e z, temos:

(2(15) = 9 + 12) ou (9 + 12 – 15 < 5)

(30 = 21) ou (6 < 5)

A primeira expressão é falsa e a segunda também, portanto essa alternativa é falsa.

Alternativa C: (3x – y = z) e (x – y + z ≠ y)

Substituindo os valores de x, y e z, temos:

(3(9) – 12 = 15) e (9 – 12 + 15 ≠ 12)

(27 – 12 = 15) e (12 ≠ 12)

A primeira expressão é verdadeira, mas a segunda é falsa, portanto essa alternativa é falsa.

Alternativa D: (x + z ≥ y) e (y – z = 3)

Substituindo os valores de x, y e z, temos:

(9 + 15 ≥ 12) e (12 – 15 = 3)

(24 ≥ 12) e (-3 = 3)

A primeira expressão é verdadeira, mas a segunda é falsa, portanto essa alternativa é falsa.

Alternativa E: (x + y > z) e (xy < xz)

Substituindo os valores de x, y e z, temos:

(9 + 12 > 15) e ((9)(12) < (9)(15))

(21 > 15) e (108 < 135)

Ambas as expressões são verdadeiras, portanto essa alternativa é verdadeira.

Portanto, a alternativa correta é a E).

Vamos analisar cada uma das afirmações sobre cônicas:

I. A afirmação sobre a elipse (x - 1)2 /16 + (y - 1)2 /9= 1 é falsa. O centro da elipse é o ponto (1,1), e não (-1,-1). Além disso, os comprimentos dos eixos maior e menor são respectivamente 4√2 e 3√2, e não 4 e 3.

II. A afirmação sobre a parábola (x - 1)2 = -4(y - 2) também é falsa. O vértice da parábola é o ponto (1,2), mas o foco não é o ponto (1,1). O foco da parábola está no ponto (1,0).

III. A afirmação sobre a hipérbole x2 /16 - y2 /9 = 1 é verdadeira. A hipérbole tem focos sobre o eixo x, o eixo imaginário é o eixo y e suas assíntotas são as retas y = ±3/4x.

Portanto, apenas a afirmação III é verdadeira. A resposta certa é:

• C)Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.

Obrigado por ter acompanhado a análise!

Vamos começar analisando a equação da circunferência: (x − 5)2 + (y − 3)2 = 16.

Essa equação pode ser reescrita como:

(x - 5)2 = 16 - (y - 3)2

Agora, vamos encontrar o centro da circunferência. O centro é o ponto onde a circunferência é "centralizada". Nesse caso, o centro é o ponto (5, 3).

Além disso, sabemos que a reta que passa pelo centro da circunferência e corta o eixo x em -6 é uma reta que passa pelo ponto (5, 3) e pelo ponto (-6, 0).

Vamos encontrar a equação dessa reta. Para isso, podemos utilizar a fórmula da reta que passa por dois pontos:

y - y1 = m(x - x1)

Onde (x1, y1) é um dos pontos que a reta passa e m é a inclinação da reta.

No nosso caso, vamos utilizar o ponto (5, 3) e o ponto (-6, 0). Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

y - 3 = m(x - 5)

y - 3 = m(x - 5)

y = mx - 5m + 3

Agora, vamos encontrar a inclinação m. Para isso, vamos utilizar o fato de que a reta corta o eixo x em -6. Isso significa que, quando x = -6, y = 0.

Substituindo esses valores na equação, obtemos:

0 = m(-6) - 5m + 3

0 = -6m - 5m + 3

0 = -11m + 3

11m = 3

m = 3/11

Agora que encontramos a inclinação, podemos encontrar a equação da reta:

y = (3/11)x - 5(3/11) + 3

y = (3/11)x - 15/11 + 3

y = (3/11)x - 15/11 + 33/11

y = (3/11)x + 18/11

Para escrever essa equação na forma geral, vamos multiplicar ambos os lados por 11:

11y = 3x + 18

Substituindo y por 11y, obtemos:

-3x + 11y - 18 = 0

E essa é a equação da reta que passa pelo centro da circunferência e corta o eixo x em -6. Portanto, a resposta certa é a opção E) -3x + 11y - 18 = 0.

Vamos analisar as opções para encontrar a resposta certa. Primeiramente, vamos analisar as equações dadas:

• X + Y = 10 ... (1)
• X + Z < 12 ... (2)
• Y + Z < 14 ... (3)

Agora, vamos analisar cada opção:

A) Z < 8: Vamos substituir Z por X + 12 (pela equação 2) na equação 3. Teremos:

• Y + (X + 12) < 14
• Y + X < 2
• X + Y < 2
• 10 < 2
• Falso

No entanto, isso não significa que Z ≥ 8. Podemos substituir Y por 10 - X (pela equação 1) na equação 3. Teremos:

• (10 - X) + Z < 14
• Z < 4 + X

Como X é um número inteiro e positivo, X ≥ 1. Logo, Z < 5. Como Z é um número inteiro e positivo, Z ≤ 4, ou seja, Z < 8.

B) Z < X: Vamos substituir Z por X + 12 (pela equação 2) na equação 3. Teremos:

• Y + (X + 12) < 14
• Y + X < 2
• X + Y < 2
• 10 < 2
• Falso

C) X < Y: Substituindo Y por 10 - X (pela equação 1), teremos:

• X < 10 - X
• 2X < 10
• X < 5

Como X é um número inteiro e positivo, X ≥ 1. Logo, essa opção pode ser verdadeira, mas não é possível garantir.

D) Y < X: Substituindo X por 10 - Y (pela equação 1), teremos:

• Y < 10 - Y
• 2Y < 10
• Y < 5

Como Y é um número inteiro e positivo, Y ≥ 1. Logo, essa opção pode ser verdadeira, mas não é possível garantir.

E) X + Y + Z < 16: Substituindo Y por 10 - X (pela equação 1) e Z por X + 12 (pela equação 2), teremos:

• X + (10 - X) + (X + 12) < 16
• 22 < 16
• Falso

Portanto, a resposta certa é A) Z < 8.

Considerando que N seja um número natural de um algarismo e que na equação 9N - N9 = X, onde N compõe números de algarismos não repetidos, ele desempenha função de unidade e dezena, respectivamente, pode-se afirmar:

• A) O resultado da subtração entre dezena e unidade de X será sempre maior que zero.
• B) O resultado da subtração entre dezena e unidade de X pode ser igual a zero.
• C) O resultado da soma entre unidade e dezena de X será sempre igual a 9.
• D) O resultado da soma entre unidade e dezena de X será sempre múltiplo de 2.

Vamos analisar cada uma das alternativas para encontrar a resposta certa.

Alternativa A: O resultado da subtração entre dezena e unidade de X será sempre maior que zero. Isso não é verdade, pois se N for igual a 5, por exemplo, X seria igual a 45 - 54 = -9, que é menor que zero.

Alternativa B: O resultado da subtração entre dezena e unidade de X pode ser igual a zero. Isso também não é verdade, pois se N for igual a 9, por exemplo, X seria igual a 81 - 99 = -18, que é menor que zero.

Alternativa C: O resultado da soma entre unidade e dezena de X será sempre igual a 9. Isso é verdade! Se N for igual a 3, por exemplo, X seria igual a 27 - 93 = 36, que tem unidade e dezena que somam 3 + 6 = 9.

Alternativa D: O resultado da soma entre unidade e dezena de X será sempre múltiplo de 2. Isso não é verdade, pois se N for igual a 7, por exemplo, X seria igual a 63 - 97 = 34, que tem unidade e dezena que somam 3 + 4 = 7, que não é múltiplo de 2.

Portanto, a resposta certa é a alternativa C) O resultado da soma entre unidade e dezena de X será sempre igual a 9.

A forma fatorada da equação do segundo grau x2 + x - 20 = 0 é:

• A)(x + 1) . (x + 2)
• B)(x - 5) . (x + 5)
• C)( x - 4) . ( x + 5)
• D)(x - 4) . (x = 4)
• E)(x + 4) . (x - 5)

Vamos analisar cada uma das opções para encontrar a resposta certa. Em uma equação do segundo grau, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes. No entanto, nesse caso, vamos tentar fatorar a equação.

Para fatorar uma equação do segundo grau, precisamos encontrar dois números que, quando multiplicados, deem o termo independente (-20) e, quando somados, deem o coeficiente do termo linear (x). Vamos verificar cada uma das opções:

Opção A: (x + 1) . (x + 2) = x2 + 3x + 2 ≠ x2 + x - 20.

Opção B: (x - 5) . (x + 5) = x2 - 25 ≠ x2 + x - 20.

Opção C: (x - 4) . (x + 5) = x2 + x - 20, que é igual à equação original!

Opção D: (x - 4) . (x = 4) não é uma opção válida, pois o segundo fator não é um binômio.

Opção E: (x + 4) . (x - 5) = x2 - x - 20 ≠ x2 + x - 20.

Portanto, a forma fatorada da equação do segundo grau x2 + x - 20 = 0 é (x - 4) . (x + 5), que é a opção C.

Além disso, é importante lembrar que a lógica proposicional é uma ferramenta poderosa para expressar e analisar argumentos. Os símbolos apresentados acima podem ser utilizados para construir fórmulas lógicas que representam afirmações ou negações de proposições.

Por exemplo, a fórmula p ⇒ q pode ser lida como "se p, então q". Já a fórmula p ⇔ q pode ser lida como "p se e somente se q".

Além disso, os conectores "e" e "ou" podem ser utilizados para combinar proposições. Por exemplo, a fórmula p ∧ q pode ser lida como "p e q", enquanto a fórmula p ∨ q pode ser lida como "p ou q".

No entanto, é importante notar que o conector "ou" exclusivo, representado pelo símbolo ∨, tem um significado diferente do conector "ou" inclusivo. Enquanto o conector "ou" inclusivo permite que ambas as proposições sejam verdadeiras, o conector "ou" exclusivo implica que apenas uma das proposições é verdadeira.

A negação de uma proposição, representada pelo símbolo ¬, pode ser utilizada para negar uma afirmação. Por exemplo, a fórmula ¬p pode ser lida como "não p".

Agora, vamos voltar à equação do segundo grau x2 + x - 20 = 0. Como vimos anteriormente, a forma fatorada dessa equação é (x-4).(x+5) = 0.

É importante notar que a forma fatorada de uma equação do segundo grau pode ser utilizada para encontrar as raízes da equação. No caso da equação x2 + x - 20 = 0, as raízes são x = 4 e x = -5.

Em resumo, a lógica proposicional é uma ferramenta poderosa para expressar e analisar argumentos, e a forma fatorada de uma equação do segundo grau pode ser utilizada para encontrar as raízes da equação.