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Considerando-se 3x + 2y − 1 = 0 e 2x − 3y + 8 = 0 equações cartesianas das retas suportes das diagonais de um quadrado que tem um dos vértices no ponto P (3, − 1), pode-se afirmar que uma equação cartesiana da circunferência circunscrita a esse quadrado é
Considerando-se 3x + 2y − 1 = 0 e 2x − 3y + 8 = 0 equações cartesianas das retas suportes das
diagonais de um quadrado que tem um dos vértices no ponto P (3, − 1), pode-se afirmar que
uma equação cartesiana da circunferência circunscrita a esse quadrado é
diagonais de um quadrado que tem um dos vértices no ponto P (3, − 1), pode-se afirmar que
uma equação cartesiana da circunferência circunscrita a esse quadrado é
- A)(x + 1)2 + (y − 2)2 = 25
- B)(x − 1)2 + (y − 2)2 = 25
- C)(x + 1)2 + (y + 2)2 = 25
- D)(x + 1)2 + (y − 2)2 = 9
- E)(x + 1)2 + (y − 2)2 = 16
Resposta:
A alternativa correta é A)
Considerando-se 3x + 2y − 1 = 0 e 2x − 3y + 8 = 0 equações cartesianas das retas suportes das diagonais de um quadrado que tem um dos vértices no ponto P (3, − 1), pode-se afirmar que uma equação cartesiana da circunferência circunscrita a esse quadrado é
Essa constatação é possível devido ao fato de que as diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si e, consequentemente, os pontos de interseção dessas diagonais são os centros da circunferência circunscrita ao quadrado. Além disso, como o vértice P (3, − 1) pertence ao quadrado, o centro da circunferência circunscrita também deve passar por esse ponto.
Dessa forma, para encontrar a equação cartesiana da circunferência, basta calcular a distância do centro da circunferência até o vértice P (3, − 1) e, em seguida, utilizar a fórmula da equação da circunferência em relação ao centro. Para calcular essa distância, é necessário encontrar as coordenadas do centro da circunferência.
Para isso, podemos utilizar as equações das retas suportes das diagonais do quadrado. Lembrando que as diagonais de um quadrado são perpendiculares, podemos calcular o produto escalar entre os vetores diretores das retas suportes das diagonais. Esse produto escalar é igual a zero, pois as retas são perpendiculares.
Assim, podemos estabelecer o sistema de equações:
Agora, para encontrar a equação cartesiana da circunferência, basta calcular a distância do centro C até o vértice P (3, − 1) e, em seguida, utilizar a fórmula da equação da circunferência em relação ao centro. A distância entre os pontos C (1, 2) e P (3, − 1) é igual a 5.
Portanto, a equação cartesiana da circunferência circunscrita ao quadrado é:
Essa constatação é possível devido ao fato de que as diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si e, consequentemente, os pontos de interseção dessas diagonais são os centros da circunferência circunscrita ao quadrado. Além disso, como o vértice P (3, − 1) pertence ao quadrado, o centro da circunferência circunscrita também deve passar por esse ponto.
Dessa forma, para encontrar a equação cartesiana da circunferência, basta calcular a distância do centro da circunferência até o vértice P (3, − 1) e, em seguida, utilizar a fórmula da equação da circunferência em relação ao centro. Para calcular essa distância, é necessário encontrar as coordenadas do centro da circunferência.
Para isso, podemos utilizar as equações das retas suportes das diagonais do quadrado. Lembrando que as diagonais de um quadrado são perpendiculares, podemos calcular o produto escalar entre os vetores diretores das retas suportes das diagonais. Esse produto escalar é igual a zero, pois as retas são perpendiculares.
Assim, podemos estabelecer o sistema de equações:
3x + 2y - 1 = 0
2x - 3y + 8 = 0
Resolvendo esse sistema de equações, encontramos as coordenadas do centro da circunferência: C (1, 2).2x - 3y + 8 = 0
Agora, para encontrar a equação cartesiana da circunferência, basta calcular a distância do centro C até o vértice P (3, − 1) e, em seguida, utilizar a fórmula da equação da circunferência em relação ao centro. A distância entre os pontos C (1, 2) e P (3, − 1) é igual a 5.
Portanto, a equação cartesiana da circunferência circunscrita ao quadrado é:
(x + 1)2 + (y - 2)2 = 25
Que é a opção A) do enunciado da questão.Continua após a publicidade..
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