Considere as inequações abaixo: I) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca II) a3 + b3 ≥ a2b + ab2 III) (a2 – b2) ≥ (a – b)4Esta(ão) correta(s), para quaisquer valores reais positivos de a, b e c, a(s) inequação(ões)

Considere as inequações abaixo:

I) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

II) a3 + b3 ≥ a2b + ab2

III) (a2 – b2) ≥ (a – b)4

Esta(ão) correta(s), para quaisquer valores reais positivos de a, b e c, a(s) inequação(ões)

Vamos analisar cada inequação separadamente:

I) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

Podemos reorganizar a inequação para obter:

a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ 0

Isso é verdadeiro, pois o lado esquerdo da inequação é uma soma de quadrados, que é sempre positiva ou nula.

Portanto, a inequação I é verdadeira.

II) a3 + b3 ≥ a2b + ab2

Podemos reorganizar a inequação para obter:

a3 + b3 – a2b – ab2 ≥ 0

Isso é verdadeiro, pois o lado esquerdo da inequação é uma soma de cubos, que é sempre positiva ou nula.

Portanto, a inequação II é verdadeira.

III) (a2 – b2) ≥ (a – b)4

Essa inequação não é verdadeira para todos os valores de a e b.

Por exemplo, se a = 2 e b = 1, temos:

(a2 – b2) = (22 – 12) = 3

E (a – b)4 = (2 – 1)4 = 16

Portanto, a inequação III não é verdadeira.

Em resumo, as inequações I e II são verdadeiras, e a inequação III não é verdadeira.

A resposta correta é B) I e II apenas.

• A)II apenas.
• B)I e II apenas.
• C)I e III apenas.
• D)II e III apenas.
• E)I, II e III.