O valor da expressão ( 1 + √2)3 + ( 1- √2)3 é igual a:

O valor da expressão ( 1 + √2)³ + ( 1- √2)³ é igual a:

• A)1
• B)2√2
• C)8
• D)10
• E)14

Vamos resolver essa expressão para descobrir qual é o valor correto. Em primeiro lugar, vamos calcular os cubos dentro da expressão:

( 1 + √2)³ = 1³ + 3 × 1² × √2 + 3 × 1 × (√2)² + (√2)³ = 1 + 3√2 + 3 × 2 + 2√2 = 7 + 5√2

( 1- √2)³ = 1³ - 3 × 1² × √2 + 3 × 1 × (√2)² - (√2)³ = 1 - 3√2 + 3 × 2 - 2√2 = 7 - 5√2

Agora, vamos somar essas duas expressões:

( 1 + √2)³ + ( 1- √2)³ = (7 + 5√2) + (7 - 5√2) = 14

Portanto, o valor da expressão é 14, que é a opção E).

Para entender melhor essa expressão, vamos analisar o que acontece quando elevamos uma soma à potência de 3:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Quando a = 1 e b = √2, temos:

(1 + √2)³ = 1³ + 3 × 1² × √2 + 3 × 1 × (√2)² + (√2)³ = 1 + 3√2 + 3 × 2 + 2√2 = 7 + 5√2

E quando a = 1 e b = -√2, temos:

(1 - √2)³ = 1³ - 3 × 1² × √2 + 3 × 1 × (√2)² - (√2)³ = 1 - 3√2 + 3 × 2 - 2√2 = 7 - 5√2

Com essas fórmulas, podemos calcular facilmente o valor da expressão.

Além disso, é importante notar que a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição não se aplica à potenciação:

(a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ

Portanto, não podemos simplesmente elevar cada termo à potência de 3 e somá-los.

Em resumo, o valor da expressão ( 1 + √2)³ + ( 1- √2)³ é 14, que é a opção E).