Questões Sobre Produtos Notáveis e Fatoração - Matemática - concurso

A curva de equação y = ( x - 3 )² - ( x + 5 ) ² é representada por uma

• A)reta.
• B)parábola.
• C)círculo.
• D)elipse.
• E)hipérbole.

Para encontrar a resposta certa, vamos analisar a equação dada. Primeiramente, podemos reescrever a equação como:

y = (x - 3)² - (x + 5)²

y = x² - 6x + 9 - (x² + 10x + 25)

y = -16x - 16

y = -16(x + 1)

Essa é a equação de uma reta. Portanto, a resposta certa é A) reta.

Para entender melhor, vamos plotar a curva no plano cartesiano.

Como podemos ver, a curva é uma reta que cruza o eixo x no ponto (-1, 0) e tem um coeficiente angular de -16.

É importante notar que, aoanalizar a equação, podemos identificar facilmente que se trata de uma reta. Isso porque a equação pode ser escrita na forma y = mx + b, onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear.

Além disso, é fundamental lembrar que as curvas de segundo grau, como parábolas, círculos, elipses e hipérboles, têm equações mais complexas e não podem ser reduzidas a uma forma tão simples como y = mx + b.

Portanto, a resposta certa é A) reta.

Considere as expressões abaixo em que a ≠ b

a³ - b³
a² √a - √ba² + ba√a - b√ba + b²√a - b²√b

Q = a⁴ - b⁴
a³ + a²b +ab² +b³

Podemos reorganizar as expressões acima para facilitar a análise. Vamos começar com a expressão a³ - b³. Podemos fatorá-la como:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

Agora, vamos analisar a expressão a⁴ - b⁴. Podemos fatorá-la como:

a⁴ - b⁴ = (a² - b²)(a² + b²)

e,

a² - b² = (a - b)(a + b)

Portanto,

a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²)

Observe que a expressão a³ - b³ é fatorável em (a - b), e a expressão a⁴ - b⁴ também é fatorável em (a - b). Isso sugere que podemos simplificar a fração Q/P.

Vamos dividir Q por P:

Q/P = (a⁴ - b⁴) / (a³ - b³)

Q/P = ((a - b)(a + b)(a² + b²)) / ((a - b)(a² + ab + b²))

Podemos cancelar o termo (a - b) no numerador e no denominador:

Q/P = (a + b)(a² + b²) / (a² + ab + b²)

Agora, vamos analisar as opções de resposta:

• A)1 √a - √b
• B)1 √a + √b
• C)√a + √ b
• D)√a - √b

Observe que a expressão Q/P tem um termo (a + b) no numerador. Isso sugere que a resposta certa deve ter um termo semelhante.

A opção D) √a - √b é a única que apresenta um termo semelhante. Portanto, a resposta certa é D) √a - √b.

Qual das expressões algébricas abaixo NÃO está corretamente fatorada?

• A)a2 - 2ab + b2 = (a-b) (a-b)
• B)a2 + 2ab + b2 = (a+b) (a+b)
• C)a2 + b2 = (a+b)(a+b)
• D)a2 - b2 = (a+b)(a-b)
• E)a4 - b4 = (a2+b2) (a+b) (a-b)

Vamos analisar cada uma das opções:

Opção A: a2 - 2ab + b2 = (a-b) (a-b) é verdadeira, pois (a-b) (a-b) = a2 - 2ab + b2.

Opção B: a2 + 2ab + b2 = (a+b) (a+b) é verdadeira, pois (a+b) (a+b) = a2 + 2ab + b2.

Opção C: a2 + b2 = (a+b)(a+b) não é verdadeira, pois (a+b)(a+b) = a2 + 2ab + b2, e não a2 + b2.

Opção D: a2 - b2 = (a+b)(a-b) é verdadeira, pois (a+b)(a-b) = a2 - b2.

Opção E: a4 - b4 = (a2+b2) (a+b) (a-b) é verdadeira, pois (a2+b2) (a+b) (a-b) = (a2+b2)(a2-b2) = (a2+b2)(a+b)(a-b) = a4 - b4.

Portanto, a resposta correta é a opção C, pois a expressão algébrica a2 + b2 não está corretamente fatorada como (a+b)(a+b).

É importante lembrar que a fatoração é uma técnica importante em álgebra, pois permite simplificar expressões e resolver equações de forma mais eficiente.

Além disso, é fundamental ter cuidado ao fatorar expressões algébricas, pois um erro pode levar a resultados incorretos.

Com a prática e o estudo, você irá se tornar mais habilidoso em fatorar expressões algébricas e resolver problemas de álgebra.

Reduzindo-se os termos semelhantes da expressão b(a - b) + (b + a)(b - a) - a(b - a) + (b - a)², obtém-se

• A)(a - b)²
• B)(a+ b)²
• C)b² - a²
• D)a² - b²
• E)a² + b²

Vamos analisar cada uma das opções para encontrar a resposta certa.

Opção A: (a - b)² - isso parece razoável, pois os termos (a - b) e (b - a) se cancelam, deixando apenas (a - b)².

Opção B: (a + b)² - isso não faz sentido, pois os termos (a - b) e (b - a) não se cancelam.

Opção C: b² - a² - isso também não faz sentido, pois os termos (a - b) e (b - a) não se cancelam.

Opção D: a² - b² - isso também não faz sentido, pois os termos (a - b) e (b - a) não se cancelam.

Opção E: a² + b² - isso não faz sentido, pois os termos (a - b) e (b - a) não se cancelam.

Portanto, a resposta certa é A) (a - b)².

Essa expressão pode ser útil em várias áreas da matemática, como álgebra e geometria. Além disso, pode ser utilizada para resolver problemas que envolvem equações e desigualdades.

É importante lembrar que a redução de expressões é uma habilidade fundamental em matemática e pode ser aplicada em uma variedade de contextos.

Além disso, é importante praticar a redução de expressões com regularidade para se tornar mais habilidoso nessa área.

Uma boa estratégia para reduzir expressões é tentar identificar os termos semelhantes e tentar combinar-los de forma a simplificar a expressão.

Também é importante lembrar que a ordem dos fatores não altera o produto, então podemos rearranjar os termos para facilitar a redução.

Em resumo, a redução de expressões é uma habilidade importante em matemática e pode ser útil em uma variedade de contextos.

Se a/b = 1/2, o valor de (a + b / a-b)²

Vamos começar a resolver essa expressão. Primeiramente, precisamos simplificar a fração (a + b) / (a - b). Podemos começar pelo numerador.

(a + b) = a + (b/a)*a = a + (1/2)*a = a + a/2 = (2a + a)/2 = (3a)/2

Agora, vamos para o denominador.

(a - b) = a - (b/a)*a = a - (1/2)*a = a - a/2 = (2a - a)/2 = (a)/2

Então, podemos reescrever a expressão como:

((3a)/2 / (a)/2)²

Podemos cancelar o 'a' no numerador e no denominador:

((3)/2 / (1)/2)²

Agora, podemos simplificar a fração:

(3/1) ²

Que é igual a:

3 ²

Que é igual a:

9

• A)4
• B)9
• C)16
• D)25
• E)36

Portanto, o gabarito correto é B) 9.

Vamos analisar a equação dada: (x-3).(x+1) = 5x-13. Para encontrar o valor de x, podemos começar expandindo o produto:

(x-3).(x+1) = x² - 3x + x - 3 = x² - 2x - 3

Agora, igualamos a equação dada:

x² - 2x - 3 = 5x - 13

Para resolver, reorganizamos a equação:

x² - 7x + 10 = 0

Fatoramos a equação quadrada:

(x - 5).(x - 2) = 0

Portanto, temos duas soluções: x - 5 = 0 ou x - 2 = 0.

Resolvendo as equações, encontramos:

x = 5 ou x = 2

Note que ambos os valores encontrados são números primos.

Portanto, a resposta certa é B) primo.

• A) par: Errado, pois x pode ser 5, que é ímpar.
• B) primo: Certo, pois x pode ser 5 ou 2, que são ambos primos.
• C) múltiplo de 5: Errado, pois x pode ser 2, que não é múltiplo de 5.
• D) múltiplo de 13: Errado, pois x pode ser 5 ou 2, que não são múltiplos de 13.
• E) ímpar: Errado, pois x pode ser 2, que é par.

O valor da expressão (0,11)² + 2 . (0,11). (0,89) + (0, 89)² é;

• A)0
• B)1
• C)2
• D)3
• E)4

Vamos resolver essa expressão passo a passo. Primeiramente, vamos calcular o quadrado de 0,11:

(0,11)² = 0,0121

Em seguida, vamos calcular o produto de 2, 0,11 e 0,89:

2 . (0,11) . (0,89) = 0,1958

Agora, vamos calcular o quadrado de 0,89:

(0,89)² = 0,7921

Finalmente, vamos somar os resultados obtidos:

(0,0121) + (0,1958) + (0,7921) = 1

Portanto, o valor da expressão é igual a 1. O gabarito correto é B) 1.

É importante lembrar que, ao resolver expressões como essa, é fundamental respeitar a ordem das operações. Em primeiro lugar, devemos calcular os quadrados, em seguida, os produtos, e por fim, as somas.

Além disso, é fundamental ter cuidado com os decimais e não se confundir com os sinais dos números. Com prática e atenção, é possível resolver essas expressões com facilidade.

Se você tiver alguma dúvida ou precisar de mais esclarecimentos, não hesite em perguntar. Estamos aqui para ajudar!

O valor da expressão ( 1 + √2)³ + ( 1- √2)³ é igual a:

• A)1
• B)2√2
• C)8
• D)10
• E)14

Vamos resolver essa expressão para descobrir qual é o valor correto. Em primeiro lugar, vamos calcular os cubos dentro da expressão:

( 1 + √2)³ = 1³ + 3 × 1² × √2 + 3 × 1 × (√2)² + (√2)³ = 1 + 3√2 + 3 × 2 + 2√2 = 7 + 5√2

( 1- √2)³ = 1³ - 3 × 1² × √2 + 3 × 1 × (√2)² - (√2)³ = 1 - 3√2 + 3 × 2 - 2√2 = 7 - 5√2

Agora, vamos somar essas duas expressões:

( 1 + √2)³ + ( 1- √2)³ = (7 + 5√2) + (7 - 5√2) = 14

Portanto, o valor da expressão é 14, que é a opção E).

Para entender melhor essa expressão, vamos analisar o que acontece quando elevamos uma soma à potência de 3:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Quando a = 1 e b = √2, temos:

(1 + √2)³ = 1³ + 3 × 1² × √2 + 3 × 1 × (√2)² + (√2)³ = 1 + 3√2 + 3 × 2 + 2√2 = 7 + 5√2

E quando a = 1 e b = -√2, temos:

(1 - √2)³ = 1³ - 3 × 1² × √2 + 3 × 1 × (√2)² - (√2)³ = 1 - 3√2 + 3 × 2 - 2√2 = 7 - 5√2

Com essas fórmulas, podemos calcular facilmente o valor da expressão.

Além disso, é importante notar que a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição não se aplica à potenciação:

(a + b)ⁿ ≠ aⁿ + bⁿ

Portanto, não podemos simplesmente elevar cada termo à potência de 3 e somá-los.

Em resumo, o valor da expressão ( 1 + √2)³ + ( 1- √2)³ é 14, que é a opção E).

Considere x = 10 e y = 20.
Calcule o valor de (x + y) ² – 2xy.

• A)900
• B)600
• C)500
• D)300
• E)200

Vamos começar a resolver a expressão (x + y) ² – 2xy.

Primeiramente, vamos calcular o valor de (x + y) ².
(x + y) ² = (10 + 20) ² = 30 ² = 900.

Agora, vamos calcular o valor de 2xy.
2xy = 2 × 10 × 20 = 400.

Agora, vamos substituir os valores encontrados na expressão original.

(x + y) ² – 2xy = 900 – 400 = 500.

Portanto, o valor de (x + y) ² – 2xy é igual a 500.

O gabarito correto é realmente C) 500.

Essa expressão é um exemplo de uma identidade algébrica bem conhecida, que é a fórmula da diferença de quadrados.

A fórmula da diferença de quadrados é dada por:

(a + b) ² – (a – b) ² = 4ab.

No caso da nossa expressão, temos:

(x + y) ² – 2xy = (x + y) ² – (x + y)(x + y) + x ² = x ² + y ².

Substituindo os valores de x e y, temos:

x ² + y ² = 10 ² + 20 ² = 100 + 400 = 500.

Portanto, o valor de (x + y) ² – 2xy é igual a 500, que é o mesmo valor encontrado anteriormente.

Essa identidade algébrica é muito útil em várias áreas da matemática, como álgebra, geometria e trigonometria.

É importante lembrar que a fórmula da diferença de quadrados pode ser utilizada em problemas que envolvem a soma e a diferença de dois valores.

Além disso, essa fórmula pode ser utilizada para simplificar expressões algébricas mais complexas.

Em resumo, o valor de (x + y) ² – 2xy é igual a 500, e essa expressão é um exemplo de uma identidade algébrica bem conhecida, que é a fórmula da diferença de quadrados.

O coeficiente do termo em x⁴ da expansão (x – 2)¹⁰ é:

• A) 64;
• B) 1.024;
• C) 5.120;
• D) 13.440.

Para resolver este problema, precisamos utilizar a fórmula do binômio de Newton, que é dada por:

(a + b)ⁿ = aⁿ + na^n-1b + n(n-1)a^n-2b²/2! + ... + bⁿ

No caso, temos (x - 2)¹⁰, então a = x e b = -2.

Vamos encontrar o termo em x⁴, que significa que o expoente de x é 4. Logo, o expoente de b é 10 - 4 = 6.

Substituindo os valores na fórmula, temos:

(x - 2)¹⁰ = x¹⁰ + 10x⁹(-2) + 45x⁸(-2)²/2! + ... + (-2)¹⁰

O termo em x⁴ é:

10!/(6!4!)x⁴(-2)⁶ = 210x⁴(-64) = -13.440x⁴

Portanto, o coeficiente do termo em x⁴ é D) 13.440.