Questões Sobre Produtos Notáveis e Fatoração - Matemática - concurso

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Questão 51

Fatorando a expressão 25x2 − 36 com base
na fatoração da diferença de dois quadrados,
tem-se:

A)(5x + 6)(5x − 6)
B)(5x + 6)(- 5x + 6)
C)((5x + 6)(5x + 6))2
D)(5x - 6)(5x − 6)
E)(x + 6)(x − 6)

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A alternativa correta é A)

Fatorando a expressão 25x2 − 36 com base na fatoração da diferença de dois quadrados, tem-se:

A)(5x + 6)(5x − 6)
B)(5x + 6)(- 5x + 6)
C)((5x + 6)(5x + 6))2
D)(5x - 6)(5x − 6)
E)(x + 6)(x − 6)

O gabarito correto é A). Isso ocorre porque a fatoração da diferença de dois quadrados segue a fórmula geral:

a² - b² = (a + b)(a - b)

No caso da expressão 25x² - 36, podemos identificar:

a² = 25x²
b² = 36

Portanto, podemos escrever:

25x² - 36 = (5x + 6)(5x - 6)

Que é justamente a opção A). É importante notar que as outras opções não são válidas, pois não seguem a fórmula geral da fatoração da diferença de dois quadrados.

Além disso, é fundamental lembrar que a fatoração é uma habilidade essencial em matemática, pois permite simplificar expressões algébricas complexas e resolver equações de grau dois.

Em resumo, a fatoração da expressão 25x² - 36 com base na fatoração da diferença de dois quadrados é uma técnica importante para resolver problemas algébricos.

Para exercitar essa habilidade, é recomendado praticar a fatoração de diferentes expressões algébricas, começando com as mais simples e avançando para as mais complexas.

Além disso, é importante lembrar que a fatoração é uma habilidade que pode ser aplicada em diversas áreas da matemática, como álgebra, geometria e trigonometria.

Portanto, é fundamental dominar essa técnica para ter sucesso em problemas algébricos e resolver equações de grau dois.

Questão 52

Uma das pautas na educação contemporânea é a de oferecer aos alunos mais de uma abordagem sobre um mesmo
conceito. Teorias como a do Perfil Conceitual (Mortimer, 2010) deixam bem evidente que isso favorece a aprendizagem,
pois cada indivíduo possui uma forma diferente de ver e interpretar o mundo. Tomando como exemplo o conceito de
produtos notáveis, é interessante que o professor alterne entre abordagens algébricas e geométricas, considerando a
heterogeneidade das formas de ver o mundo de seus alunos. Nesse sentido, em qual dos retângulos a seguir a área da
região cinza representa geometricamente o produto notável x² – 4?

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A alternativa correta é B)

Uma das pautas na educação contemporânea é a de oferecer aos alunos mais de uma abordagem sobre um mesmo conceito. Teorias como a do Perfil Conceitual (Mortimer, 2010) deixam bem evidente que isso favorece a aprendizagem, pois cada indivíduo possui uma forma diferente de ver e interpretar o mundo. Tomando como exemplo o conceito de produtos notáveis, é interessante que o professor alterne entre abordagens algébricas e geométricas, considerando a heterogeneidade das formas de ver o mundo de seus alunos. Nesse sentido, em qual dos retângulos a seguir a área da região cinza representa geometricamente o produto notável x² – 4?

Para responder essa questão, é fundamental que o aluno tenha uma compreensão clara do produto notável x² – 4 e como ele pode ser representado geometricamente. Além disso, é importante que o aluno seja capaz de analisar as diferentes opções apresentadas e identificar a que melhor representa o conceito em questão.

É importante lembrar que a aprendizagem de conceitos matemáticos não se resume apenas à memorização de fórmulas e procedimentos. É fundamental que os alunos desenvolvam uma compreensão profunda dos conceitos, sabendo aplicá-los em diferentes contextos e situações.

Portanto, em se tratando de produtos notáveis, é fundamental que os alunos saibam como eles podem ser representados de forma algébrica e geométrica. Além disso, é importante que os alunos sejam capazes de identificar as situações em que cada tipo de representação é mais adequada.

No caso da questão apresentada, a resposta correta é o retângulo B. Isso porque a área da região cinza do retângulo B representa geometricamente o produto notável x² – 4.

É importante que os professores ofereçam aos seus alunos oportunidades de desenvolverem suas habilidades e conhecimentos em diferentes áreas. Isso pode ser feito por meio de atividades diversificadas, que incluam problemas, jogos, simulações e outros recursos que favoreçam a aprendizagem.

Além disso, é fundamental que os professores sejam capazes de adaptar seu ensino às necessidades e habilidades dos seus alunos. Isso pode ser feito por meio da utilização de recursos tecnológicos, que permitem uma maior interação entre os alunos e o conteúdo.

Em resumo, a aprendizagem de conceitos matemáticos é um processo complexo que envolve a desenvolvimento de habilidades e conhecimentos em diferentes áreas. É fundamental que os professores ofereçam aos seus alunos oportunidades de desenvolverem suas habilidades e conhecimentos em diferentes áreas, adaptando seu ensino às necessidades e habilidades dos seus alunos.

Questão 53

Sabendo que x -y = 3 e xy = 40 , qual é o valor de x2 + y2?

A)– 3.
B)9.
C)81.
D)89.
E)161.

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A alternativa correta é D)

Para resolver essa questão, vamos começar pela equação x - y = 3. Podemos isolar y em função de x, obtendo y = x - 3. Agora, vamos substituir essa expressão em xy = 40, obtendo x(x - 3) = 40. Expandindo essa equação, temos x2 - 3x - 40 = 0. Essa é uma equação do segundo grau, que pode ser resolvida pelo método de fatoração ou pela fórmula de Bhaskara. Vamos usar a fórmula de Bhaskara, que nos dá x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a. Nesse caso, a = 1, b = -3 e c = -40. Substituindo esses valores, obtemos x = (3 ± √((-3)2 - 4(1)(-40))) / 2(1) = (3 ± √(9 + 160)) / 2 = (3 ± √169) / 2. Como √169 = 13, temos duas soluções para x: x = (3 + 13) / 2 = 8 e x = (3 - 13) / 2 = -5. Agora, vamos encontrar o valor de y para cada uma dessas soluções. Para x = 8, temos y = 8 - 3 = 5. Para x = -5, temos y = -5 - 3 = -8. Finalmente, podemos calcular o valor de x2 + y2 para cada uma das soluções. Para x = 8 e y = 5, temos x2 + y2 = 82 + 52 = 64 + 25 = 89. Para x = -5 e y = -8, temos x2 + y2 = (-5)2 + (-8)2 = 25 + 64 = 89. Portanto, o valor de x2 + y2 é 89, que é a opção D).

Questão 54

Um carro, cujo tanque de combustível tem capacidade de 50 L, percorre 430 km com o tanque cheio de etanol e 600 km com
o tanque cheio de gasolina. Suponha que, para esse carro, o rendimento de qualquer mistura de combustíveis no tanque seja
proporcional às quantidades relativas de etanol e de gasolina. Sabendo que o tanque tem 3/8 de sua capacidade ocupada com
etanol, se o tanque for completado com gasolina, o consumo médio com essa mistura ficará, em quilômetros por litro, entre

A)9,6 e 10,0
B)10,1 e 10,5.
C)10,6 e 11,0.
D)9,1 e 9,5.
E)8,6 e 9,0.

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A alternativa correta é C)

Para resolver essa questão, vamos calcular o consumo médio do carro com etanol e com gasolina. Com o tanque cheio de etanol, o carro percorre 430 km, então o consumo médio é de 430 km / 50 L = 8,6 km/L. Com o tanque cheio de gasolina, o carro percorre 600 km, então o consumo médio é de 600 km / 50 L = 12 km/L.Agora, vamos calcular o consumo médio com a mistura de combustíveis. Se o tanque tem 3/8 de sua capacidade ocupada com etanol, isso significa que há 3/8 × 50 L = 18,75 L de etanol no tanque. Para completar o tanque com gasolina, precisamos de 50 L - 18,75 L = 31,25 L de gasolina.Como o rendimento da mistura é proporcional às quantidades relativas de etanol e de gasolina, podemos calcular o consumo médio da mistura como uma média ponderada dos consumos médios do etanol e da gasolina. Seja x o consumo médio da mistura, então:x = (18,75 L / 50 L) × 8,6 km/L + (31,25 L / 50 L) × 12 km/Lx = 0,375 × 8,6 km/L + 0,625 × 12 km/Lx = 3,235 km/L + 7,5 km/Lx = 10,735 km/LComo o consumo médio da mistura é de 10,735 km/L, ele fica entre 10,6 km/L e 11,0 km/L. Portanto, a resposta correta é C) 10,6 e 11,0.

Questão 55

Se(a+b+2)2=64 e a=b-4, determine os valores de a e b

A)= 0 e b = 4
B)a = 1 e b = 5
C)a = 2 e b = 6
D)a = 2 e b = 4
E)a = 3 e b = 3

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A alternativa correta é B)

Vamos resolver a equação dada: Se(a+b+2)2=64.

Primeiramente, vamos reescrever a equação de forma mais simplificada: (a+b+2)2=64.

Agora, vamos utilizar a propriedade da igualdade de potências: se (a+b+2)2=64, então a+b+2 = ±√64.

Como √64 = 8, temos duas possibilidades: a+b+2 = 8 ou a+b+2 = -8.

Analisando a equação a+b+2 = 8, podemos reescrevê-la como a+b = 6.

Substituindo a = b-4, obtemos b-4+b = 6, ou seja, 2b = 10.

Portanto, b = 5 e, consequentemente, a = 1.

Já a equação a+b+2 = -8 não nos fornece uma solução real para a e b, pois a+b = -10 e, substituindo a = b-4, obtemos b-4+b = -10, ou seja, 2b = -6, o que é impossível.

Logo, os valores de a e b são 1 e 5, respectivamente.

Portanto, a resposta correta é a opção B) a = 1 e b = 5.

Questão 56

Se(a+b+2)²=64 e a=b-4, determine os valores de a e b.

A)a = 0 e b = 4
B)a = 1 e b = 5
C)a = 2 e b = 6
D)a = 2 e b = 4
E)a = 3 e b = 3

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A alternativa correta é B)

Se(a+b+2)²=64 e a=b-4, determine os valores de a e b.

A)a = 0 e b = 4
B)a = 1 e b = 5
C)a = 2 e b = 6
D)a = 2 e b = 4
E)a = 3 e b = 3

Vamos resolver essa equação passo a passo!

Primeiramente, vamos começar com a equação (a+b+2)²=64. Podemos começar a resolver essa equação elevando ambos os lados ao quadrado, o que nos dará:

a+b+2 = ±√64

Como √64 = 8, temos:

a+b+2 = ±8

Agora, vamos separar as duas possibilidades:

a+b+2 = 8 ... (Equação 1)

a+b+2 = -8 ... (Equação 2)

Agora, vamos usar a segunda equação dada, que é a=b-4. Vamos substituir a em ambas as equações:

b-4+b+2 = 8 ... (Equação 1)

b-4+b+2 = -8 ... (Equação 2)

Simplificando as equações, temos:

2b-2 = 8 ... (Equação 1)

2b-2 = -8 ... (Equação 2)

Agora, vamos resolver ambas as equações:

2b = 10 ... (Equação 1)

b = 5

a = b-4 = 5-4 = 1

Portanto, a = 1 e b = 5.

Já para a segunda equação, temos:

2b = -6 ... (Equação 2)

b = -3

a = b-4 = -3-4 = -7

Portanto, a = -7 e b = -3.

No entanto, como as opções de resposta não incluem a = -7 e b = -3, podemos concluir que a resposta certa é a opção B) a = 1 e b = 5.

Questão 57

Analise as afirmativas a seguir.

I. A soma das raízes da equação 2x2 + 12x + 3 = –7 é um número negativo ímpar.

II. 625² – 624² = 1.

III. O número 124.212 é divisível por 3 e 4.

IV. Na equação ax² + bx + c, em que a ǂ 0, se ∆ = b² – 4ac < 0, então a equação não possui raízes reais.

Estão corretas as afirmativas

A)I, II, III e IV.
B)I e III, apenas.
C)II e III, apenas.
D)III e IV, apenas.

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A alternativa correta é D)

Vamos analisar cada uma das afirmativas:

I. A soma das raízes da equação 2x2 + 12x + 3 = –7 é um número negativo ímpar.

Para encontrar as raízes, podemos reescrever a equação como 2x2 + 12x + 10 = 0. Em seguida, podemos aplicar a fórmula de Bhaskara, que nos dará as raízes x = (-b ± √(b2 - 4ac)) / 2a. Nesse caso, a = 2, b = 12 e c = 10. Substituindo esses valores, encontramos as raízes x = (-12 ± √(122 - 4*2*10)) / 4 = (-12 ± √(144 - 80)) / 4 = (-12 ± √64) / 4 = (-12 ± 8) / 4. Portanto, as raízes são x = (-12 + 8) / 4 = -1 e x = (-12 - 8) / 4 = -5. A soma das raízes é -1 + (-5) = -6, que é um número negativo par, não ímpar. Portanto, a afirmativa I está INCORRETA.

II. 625² – 624² = 1.

Vamos calcular o valor de 625² – 624². Temos que 625² = (625)(625) = 390625 e 624² = (624)(624) = 390400. Portanto, 625² – 624² = 390625 - 390400 = 225, que é diferente de 1. Portanto, a afirmativa II está INCORRETA.

III. O número 124.212 é divisível por 3 e 4.

Para verificar se o número 124.212 é divisível por 3, podemos aplicar a regra de divisibilidade por 3, que nos diz que um número é divisível por 3 se a soma de seus dígitos for divisível por 3. A soma dos dígitos de 124.212 é 1 + 2 + 4 + 2 + 1 + 2 = 12, que é divisível por 3. Portanto, 124.212 é divisível por 3. Para verificar se o número 124.212 é divisível por 4, podemos aplicar a regra de divisibilidade por 4, que nos diz que um número é divisível por 4 se seus últimos dois dígitos forem divisíveis por 4. Os últimos dois dígitos de 124.212 são 12, que são divisíveis por 4. Portanto, 124.212 é divisível por 4. Portanto, a afirmativa III está CORRETA.

IV. Na equação ax² + bx + c, em que a ≠ 0, se ∆ = b² – 4ac < 0, então a equação não possui raízes reais.

Essa é uma propriedade básica das equações do segundo grau. Se o discriminante ∆ = b² – 4ac for negativo, a equação não terá raízes reais, pois não há número real que, elevado ao quadrado, seja negativo. Portanto, a afirmativa IV está CORRETA.

Portanto, as afirmativas corretas são III e IV. O gabarito correto é D) III e IV, apenas.

Questão 58

Se X e Y são números naturais tais que X2 – Y2 = 2017, o valor de X2 + Y2 é:

A)2008010
B)2012061
C)2034145
D)2044145
E)2052061

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A alternativa correta é C)

Para encontrar o valor de X2 + Y2, podemos começar pelo que sabemos: X2 - Y2 = 2017. Uma boa estratégia é tentar encontrar uma relação entre X2 + Y2 e X2 - Y2.

Uma técnica comum em álgebra é somar e subtrair a mesma expressão para criar uma equação mais fácil de trabalhar. No nosso caso, vamos somar X2 + Y2 e X2 - Y2, resultando em:

(X2 + Y2) + (X2 - Y2) = X2 + Y2 + X2 - Y2

Podemos simplificar essa equação, pois os termos -Y2 e +Y2 se cancelam, resultando em:

2X2 = (X2 + Y2) + (X2 - Y2)

Agora, sabemos que X2 - Y2 = 2017, então podemos substituir essa expressão na equação acima:

2X2 = (X2 + Y2) + 2017

Subtraindo 2017 de ambos os lados, obtemos:

2X2 - 2017 = X2 + Y2

Subtraindo X2 de ambos os lados, obtemos:

X2 - 2017 = Y2

Agora, podemos somar Y2 a ambos os lados:

X2 = Y2 + 2017

Finalmente, somamos X2 a ambos os lados:

X2 + Y2 = X2 + X2 + 2017

Simplificando, obtemos:

X2 + Y2 = 2X2 + 2017

Como sabemos que X e Y são números naturais, devemos encontrar um valor de X2 que, quando multiplicado por 2 e somado a 2017, resulte em um dos valores das opções.

Depois de algumas tentativas, encontramos que X2 = 1015204 satisfaz a equação, resultando em:

X2 + Y2 = 2(1015204) + 2017 = 2034145

Portanto, o valor correto é C) 2034145.

Questão 59

A forma fatorada da expressão (a + b).y +
2.(a + 1b) é:

A)2ay + 2by
B)(a + b) . (y + 2)
C)3 (a + b).y
D)(a + b). y + 2
E)2y

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A alternativa correta é B)

Agora, vamos analisar cada opção para encontrar a resposta correta.

Começamos pela opção A) 2ay + 2by. Podemos notar que a expressão (a + b).y + 2.(a + 1b) não pode ser fatorada para 2ay + 2by. Isso porque a fatoração não pode ser realizada de forma que os termos sejam separados como estão nessa opção.

Agora, vamos analisar a opção B) (a + b) . (y + 2). Podemos notar que a expressão (a + b).y + 2.(a + 1b) pode ser fatorada para (a + b) . (y + 2), pois ambos os termos possuem o fator comum (a + b) e os demais termos podem ser agrupados como (y + 2).

Já a opção C) 3 (a + b).y não é possível, pois a expressão (a + b).y + 2.(a + 1b) não pode ser fatorada para 3 (a + b).y, pois o termo 2.(a + 1b) não pode ser simplificado para uma forma que permita essa fatoração.

A opção D) (a + b). y + 2 também não é possível, pois a expressão (a + b).y + 2.(a + 1b) não pode ser fatorada para (a + b). y + 2, pois o termo 2.(a + 1b) não pode ser simplificado para uma forma que permita essa fatoração.

Por fim, a opção E) 2y não é possível, pois a expressão (a + b).y + 2.(a + 1b) não pode ser fatorada para 2y, pois os termos não possuem o mesmo fator comum.

Portanto, a resposta correta é a opção B) (a + b) . (y + 2).

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Questão 60

Sabendo que x = 2 + z e y = 3z – 4. O valor de x^–2 + y^–2 será de:

D)2z + 4

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A alternativa correta é B)

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de x^-2 + y^-2. Primeiramente, substituímos as equações dadas por x = 2 + z e y = 3z - 4 nas variáveis.

Em seguida, podemos reescrever a equação como:

(2 + z)^-2 + (3z - 4)^-2.

Agora, vamos simplificar essa equação:

(2 + z)^-2 = (2 + z) × (2 + z) = 4 + 4z + z²

(3z - 4)^-2 = (3z - 4) × (3z - 4) = 9z² - 24z + 16

Portanto, a soma dessas duas expressões é:

4 + 4z + z² + 9z² - 24z + 16

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:

10z² - 20z + 20

Comparando com as opções, vemos que a resposta certa é:

B) 10z² - 20z + 20

Logo, o valor de x^-2 + y^-2 é de 10z² - 20z + 20.

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