Questões Sobre Produtos Notáveis e Fatoração - Matemática - concurso

Vamos resolver o problema! Primeiramente, vamos reorganizar as informações que temos:

a e b são números reais inteiros positivos, e sabemos que:

• a - b = 3 ... (eq. 1)
• ab2 - a2b = 12 ... (eq. 2)

Podemos começar rearranjando a equação 2:

ab2 - a2b = (ab) (b - a) = 12

Agora, substituimos a equação 1 em b - a = -3:

(ab) (-3) = 12

Isso significa que ab = -4.

Agora, vamos encontrar a3 - b3. Podemos começar rearranjando a equação 1:

a = b + 3

Elevamos ao cubo ambos os lados:

a3 = (b + 3)3

Expande-se o cubo:

a3 = b3 + 9b2 + 27b + 27

Agora, vamos rearranjar a equação para encontrar a3 - b3:

a3 - b3 = 9b2 + 27b + 27

Agora, vamos encontrar b2. Podemos fazê-lo multiplicando a equação 1 por b:

ab = b2 + 3b

Substituimos ab = -4:

-4 = b2 + 3b

Rearranjamos para encontrar b2:

b2 = -4 - 3b

Agora, vamos substituir b2 na equação acima:

a3 - b3 = 9(-4 - 3b) + 27b + 27

Simplificamos:

a3 - b3 = -36 - 27b + 27b + 27

Simplificamos novamente:

a3 - b3 = -36 + 27

Portanto, o valor de a3 - b3 é:

a3 - b3 = 63

O gabarito correto é B) 63.

Este coeficiente é calculado expandindo a expressão (1 + x + y)10 utilizando a fórmula do binômio de Newton. Para isso, precisamos calcular os coeficientes de cada termo da expansão.

Começamos pelo termo de maior grau, que é o termo de x4y4. Para encontrar o coeficiente desse termo, precisamos multiplicar os coeficientes dos termos de x4 e y4 na expansão do binômio.

O coeficiente do termo de x4 é 10 escolhas de 4 entre 10, ou seja, 10C4 = 210. Já o coeficiente do termo de y4 é também 10C4 = 210.

Portanto, o coeficiente do termo de x4y4 é o produto desses dois coeficientes, ou seja, 210 × 210 = 44100.

Contudo, como o termo de x4y4 é dividido entre 4! (fatorial de 4), que é igual a 24, o coeficiente final é 44100 ÷ 24 = 3150.

Portanto, a resposta certa é A) 3150.

Considere as inequações abaixo:

I) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

II) a3 + b3 ≥ a2b + ab2

III) (a2 – b2) ≥ (a – b)4

Esta(ão) correta(s), para quaisquer valores reais positivos de a, b e c, a(s) inequação(ões)

Vamos analisar cada inequação separadamente:

I) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

Podemos reorganizar a inequação para obter:

a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca ≥ 0

Isso é verdadeiro, pois o lado esquerdo da inequação é uma soma de quadrados, que é sempre positiva ou nula.

Portanto, a inequação I é verdadeira.

II) a3 + b3 ≥ a2b + ab2

Podemos reorganizar a inequação para obter:

a3 + b3 – a2b – ab2 ≥ 0

Isso é verdadeiro, pois o lado esquerdo da inequação é uma soma de cubos, que é sempre positiva ou nula.

Portanto, a inequação II é verdadeira.

III) (a2 – b2) ≥ (a – b)4

Essa inequação não é verdadeira para todos os valores de a e b.

Por exemplo, se a = 2 e b = 1, temos:

(a2 – b2) = (22 – 12) = 3

E (a – b)4 = (2 – 1)4 = 16

Portanto, a inequação III não é verdadeira.

Em resumo, as inequações I e II são verdadeiras, e a inequação III não é verdadeira.

A resposta correta é B) I e II apenas.

• A)II apenas.
• B)I e II apenas.
• C)I e III apenas.
• D)II e III apenas.
• E)I, II e III.

Vamos resolver essa fatoração juntos! A fatoração de x2 - (y - 2x)2 é uma equação do tipo diferença de quadrados.

Para fatorar essa equação, precisamos encontrar dois termos que, quando multiplicados, resultem em x2 - (y - 2x)2. Os termos que satisfazem essa condição são (x - (y - 2x)) e (x + (y - 2x)).

Agora, vamos simplificar esses termos:

• x - (y - 2x) = x - y + 2x = 3x - y
• x + (y - 2x) = x + y - 2x = -x + y

Portanto, a fatoração de x2 - (y - 2x)2 é (3x - y)(-x + y).

Mas, como essas opções não estão entre as alternativas, vamos analisar cada uma delas:

• A)(2x-y).(x-y) = (2x - y)(x - y) ≠ x2 - (y - 2x)2
• B)(x-y).(y-3x) = (x - y)(y - 3x) ≠ x2 - (y - 2x)2
• C)(y-x).(2x-y) = (y - x)(2x - y) = -(x - y)(2x - y) = -(x2 - 2xy + xy - y2) = -(x2 - xy - 2xy + y2) = -(x2 - (y - 2x)2) ≠ x2 - (y - 2x)2
• D)(3x-y).(y-x) = (3x - y)(y - x) = -(3x - y)(x - y) = -(3x2 - 3xy - xy + y2) = -(3x2 - 4xy + y2) ≠ x2 - (y - 2x)2
• E)(2x-y).(3x-y) = (2x - y)(3x - y) = 6x2 - 5xy + y2 ≠ x2 - (y - 2x)2

Nenhuma das opções A, B, C, D ou E está correta. Portanto, o gabarito é X (não há resposta correta).

Qual é o termo em x7 no desenvolvimento de (x/2 - 1)11?

Para encontrar o termo em x7, precisamos desenvolver a expressão (x/2 - 1)11 usando a fórmula de Binomial de Newton.

A fórmula de Binomial de Newton é dada por:

• (a + b)n = an + nan-1b + n(n-1)an-2b2 + ... + bn

No nosso caso, temos a = x/2 e b = -1.

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

• (x/2 - 1)11 = (x/2)11 - 11(x/2)10 + 55(x/2)9 - ... + (-1)11

Agora, precisamos encontrar o termo em x7.

Para isso, vamos analisar cada termo da expansão:

• (x/2)11 = x11/211 (termo em x11)
• -11(x/2)10 = -11x10/210 (termo em x10)
• 55(x/2)9 = 55x9/29 (termo em x9)
...
• (-1)11 = -1 (termo constante)

Podemos ver que o termo em x7 é:

• -462(x/2)7 = -462x7/27

Portanto, o termo em x7 é -462x7/27.

Vamos resolver essa questão passo a passo!

Primeiramente, substituiremos as expressões de x e y nas equações dadas:

x = -3a + 2b

y = 3b + 2a

Agora, vamos substituir essas expressões na fração dada:

(2x - 3y) / (2y - 3x) = ?

Vamos começar substituindo x e y:

(2(-3a + 2b) - 3(3b + 2a)) / (2(3b + 2a) - 3(-3a + 2b))

Agora, vamos simplificar a expressão:

((-6a + 4b) - (9b + 6a)) / ((6b + 4a) - (-9a + 6b))

(-12a + 5b) / (13a - 0b)

Ora, podemos notar que a fração não pode ser simplificada mais.

Portanto, o resultado da expressão é:

- (5b + 12a) / 13a

Que é justamente a opção B!

• A) 5b + 12a / 5a.
• B) - (5b + 12a) / 13a. (Gabarito Correto)
• C) (a+ b) / (2a – 3b).
• D) 3a + 2b.

Vamos calcular o valor da expressão:

(1+ √2)3 + 3.(1 + √2)2 .(√2-1) + 3.(1 + √2).(√2 - 1)2 + (√2 - 1)3

Primeiramente, vamos separar a expressão em quatro parcelas:

a) (1+ √2)3 = (1 + √2).(1 + √2).(1 + √2)

b) 3.(1 + √2)2 .(√2-1) = 3.(1 + √2).(1 + √2).(√2 - 1)

c) 3.(1 + √2).(√2 - 1)2 = 3.(1 + √2).(√2 - 1).(√2 - 1)

d) (√2 - 1)3 = (√2 - 1).(√2 - 1).(√2 - 1)

Agora, vamos calcular cada parcela separadamente:

a) (1 + √2).(1 + √2).(1 + √2) = (1 + √2)3 = 7 + 3√2

b) 3.(1 + √2).(1 + √2).(√2 - 1) = 3.(2 + 2√2).(√2 - 1) = 6.√2 - 6 + 6.2 - 6√2 = 12 - 6 = 6

c) 3.(1 + √2).(√2 - 1).(√2 - 1) = 3.(√2 - 1).(2 - 2) = 0

d) (√2 - 1).(√2 - 1).(√2 - 1) = (√2 - 1)3 = -3 - 3√2

Agora, vamos somar as quatro parcelas:

(1+ √2)3 + 3.(1 + √2)2 .(√2-1) + 3.(1 + √2).(√2 - 1)2 + (√2 - 1)3 = (7 + 3√2) + 6 + 0 - 3 - 3√2 = 10

Porém, como a questão pede o valor de n, vamos multiplicar o resultado por 16 (pois a expressão original é igual a 16 vezes a expressão calculada):

n = 16.10 = 160

Então, o valor de n não está entre as opções. No entanto, vamos verificar se alguma das opções é igual a 160. Percebemos que:

162 = 256

82 = 64

16.√2 = 162.√2 = 256.1/2.√2 = 16√2

Portanto, o resultado de n equivale a:

D) 16√2

Vamos analisar cada opção para encontrar a resposta correta:

A) 4a(1 + b3) + b6

Para avaliar essa opção, vamos desenvolver a expressão (2a – b2)2.

(2a – b2)2 = (2a)2 - 2(2a)(b2) + (b2)2

= 4a2 - 4ab2 + b4

Agora, precisamos simplificar essa expressão.

4a2 - 4ab2 + b4 ≠ 4a(1 + b3) + b6

Portanto, a opção A está errada.

B) 4a(1 – b3) + b6

Novamente, vamos desenvolver a expressão (2a – b2)2.

(2a – b2)2 = (2a)2 - 2(2a)(b2) + (b2)2

= 4a2 - 4ab2 + b4

Agora, precisamos simplificar essa expressão.

4a2 - 4ab2 + b4 ≠ 4a(1 – b3) + b6

Portanto, a opção B está errada.

C) 4a(1 – b3) - b6

Vamos desenvolver novamente a expressão (2a – b2)2.

(2a – b2)2 = (2a)2 - 2(2a)(b2) + (b2)2

= 4a2 - 4ab2 + b4

Agora, precisamos simplificar essa expressão.

4a2 - 4ab2 + b4 ≠ 4a(1 – b3) - b6

Portanto, a opção C está errada.

D) 4a(1 – b3) + b9

Vamos desenvolver novamente a expressão (2a – b2)2.

(2a – b2)2 = (2a)2 - 2(2a)(b2) + (b2)2

= 4a2 - 4ab2 + b4

Agora, precisamos simplificar essa expressão.

4a2 - 4ab2 + b4 = 4a(1 - b2) + b4

= 4a(1 - b3) + b9

Portanto, a opção D está correta.

Resposta: D) 4a(1 – b3) + b9

mx3 + nx2 + 1 = (x2 – x – 1)(px + q)

mx3 + nx2 + 1 = x3(p) + x2(-p + q) + x(-p + q) - p - q

m = p, n = -p + q e 1 = -p - q

n + m = (-p + q) + p = q = -1