Questões Sobre Produtos Notáveis e Fatoração - Matemática - concurso

Agora que você já viu a resposta certa, vamos entender porque ela é a resposta certa! Vamos expandir a expressão (x - 2)(x³ + 2x² + 4x + 8) + 16 para verificar se ela é igual a x⁴.

Para começar, vamos utilizar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, que nos permite reescrever a expressão como:

• x(x³ + 2x² + 4x + 8) - 2(x³ + 2x² + 4x + 8) + 16

Agora, vamos aplicar a propriedade distributiva novamente para expandir cada termo:

• x⁴ + 2x³ + 4x² + 8x - 2x³ - 4x² - 8x - 16 + 16

Você notou que os termos -16 e +16 se cancelam? Isso significa que podemos escrever a expressão como:

• x⁴ + 2x³ - 2x³ + 4x² - 4x² + 8x - 8x

Agora, observe que os termos 2x³ e -2x³ se cancelam, assim como os termos 4x² e -4x², e os termos 8x e -8x. Isso significa que a expressão se reduz a:

• x⁴

E isso é exatamente o que queríamos demonstrar! A resposta B) está correta porque a expressão (x - 2)(x³ + 2x² + 4x + 8) + 16 é igual a x⁴.

Muito bem, você agora tem uma compreensão profunda sobre por que a resposta B) é a resposta certa. Isso é incrível!

O termo independente de x no desenvolvimento de ( 2x + 1/x2 )9 é um número divisível por 21.

Vamos analisar essa questão passo a passo. Primeiramente, precisamos desenvolver a expressão ( 2x + 1/x2 )9. Para isso, podemos utilizar a fórmula de Newton, que nos permite calcular o valor de uma expressão elevada a uma potência qualquer.

A fórmula de Newton é dada por:

(a + b)n = an + nan-1b + n(n-1)an-2b2 + ... + bn

No nosso caso, temos a = 2x e b = 1/x2. Substituindo esses valores na fórmula de Newton, obtemos:

(2x + 1/x2 )9 = (2x)9 + 9(2x)8(1/x2) + 36(2x)7(1/x2)2 + ... + (1/x2)9

Agora, precisamos identificar o termo independente de x. Observe que todos os termos contêm x em sua forma, exceto o último termo.

O último termo é (1/x2)9, que pode ser reescrito como:

(1/x2)9 = 1/x18

Como 18 é um múltiplo de 2, podemos reescrever o denominador como x2^9, que é igual a x18.

Portanto, o termo independente de x é 1, que é divisível por 21.

• A) 10.
• B) 15.
• C) 21.
• D) 27.

O gabarito correto é, de fato, C) 21.

Vamos resolver o problema do professor de matemática! Para encontrar o valor de AB + AC + BC, precisamos começar analisando as informações fornecidas. Sabemos que a soma dos três números é desconhecida, mas se elevada ao quadrado, é igual a 400. Além disso, sabemos que a soma dos quadrados de cada número é igual a 178.

Podemos começar representando os três números como A, B e C. A soma dos três números é então A + B + C, e a soma dos quadrados de cada número é A² + B² + C². Com as informações fornecidas, podemos montar dois sistemas de equações:

(1) (A + B + C)² = 400

(2) A² + B² + C² = 178

Agora, vamos desenvolver a equação (1) para encontrar uma expressão para A + B + C:

(A + B + C)² = A² + B² + C² + 2(AB + AC + BC) = 400

Substituindo a equação (2) na equação acima, temos:

A² + B² + C² + 2(AB + AC + BC) = 178 + 2(AB + AC + BC) = 400

Agora, é fácil encontrar o valor de AB + AC + BC:

2(AB + AC + BC) = 400 - 178 = 222

AB + AC + BC = 111

Portanto, o valor correto é D) 111.

Vamos resolver essa questão de matemática! Para encontrar o valor de 12345² - 12344², podemos utilizar a fórmula da diferença de quadrados, que é:

a² - b² = (a + b)(a - b)

No nosso caso, a = 12345 e b = 12344. Então, substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

(12345 + 12344)(12345 - 12344)

Agora, vamos calcular os valores dentro dos parênteses:

12345 + 12344 = 24689

12345 - 12344 = 1

Agora, multiplicamos os resultados:

24689 × 1 = 24689

Pois é! O valor de 12345² - 12344² é igual a 24689. Portanto, a alternativa correta é:

• A)1
• B)100
• C)14679
• D)24689

A resposta certa é a alternativa D) 24689.

Espero que isso tenha ajudado a resolver a questão! Se tiver alguma dúvida ou precisar de ajuda em outra questão, basta perguntar.

Para responder à questão, leve em consideração as propriedades da Álgebra Booleana.

Que propriedade é aplicada na expressão p.(q+r) = (p.q)+(p.r) ?

• A)Absorção.
• B)Associativa.
• C)Distributiva.
• D)Comutativa.
• E)Idempotente.

A resposta certa é a opção C) Distributiva. Isso porque a propriedade distributiva da Álgebra Booleana permite que um operador seja distribuído sobre a soma de dois operandos, como é o caso da expressão p.(q+r) = (p.q)+(p.r).

Essa propriedade é fundamental em muitas aplicações práticas, como na lógica digital, na programação e em sistemas de controle. Além disso, ela é amplamente utilizada em circuitos lógicos e em sistemas de álgebra booleana.

É importante notar que as outras opções não são aplicáveis nesse caso. A absorção é uma propriedade que se refere à capacidade de um operador de absorver ou cancelar outro operador, o que não é o caso aqui. A propriedade associativa se refere à ordem em que os operandos são avaliados, o que não está em questão nessa expressão. A propriedade comutativa se refere à troca de lugar dos operandos, o que também não é o caso. Já a propriedade idempotente se refere à repetição de um operador sobre si mesmo, o que não ocorre nessa expressão.

Portanto, a resposta correta é a opção C) Distributiva, pois é a única propriedade que se aplica corretamente à expressão p.(q+r) = (p.q)+(p.r).

Simplificando a expressão (2a³ b^-2 )^-1 obtém-se:

• A)b²/2a³
• B)2b/a⁴
• C)³b/a³
• D)b³/a³

Para chegarmos ao gabarito correto, A)b²/2a³, é necessário aplicar as propriedades dos expoentes.

Primeiramente, precisamos lembrar que quando elevamos uma expressão à potência -1, estamos, na verdade, calculando o seu inverso.

Portanto, (2a³ b⁻²)⁻¹ = 1 / (2a³ b⁻²).

Em seguida, podemos aplicar a regra que diz que a potência de um produto é igual ao produto das potências.

Assim, 1 / (2a³ b⁻²) = 1 / 2a³ × 1 / b⁻².

Agora, precisamos lembrar que a potência negativa de um número é igual ao seu inverso.

Portanto, 1 / b⁻² = b².

Finalmente, podemos reescrever a expressão como b² / 2a³, que é o gabarito correto, A).

Essa questão ilustra a importância de conhecer as propriedades dos expoentes e ser capaz de aplicá-las corretamente.

Além disso, é fundamental ter atenção aos detalhes e não se confundir com as operações e as propriedades envolvidas.

Com essas habilidades, você estará mais preparado para resolver problemas mais complexos envolvendo expoentes.

Um aluno, ao efetuar o produto notável (a³ - 8)², obteve como resultado o trinômio a⁹ - 16a³ + 64. Com base nessa resposta, está correto afirmar que esse aluno cometeu um erro no

• A)sinal do 2° termo.
• B)quadrado do primeiro termo.
• C)quadrado do terceiro termo.
• D)sinal do terceiro termo.

Vamos analisar passo a passo a expansão do produto notável (a³ - 8)². Inicialmente, vamos aplicar a fórmula da potência de um binômio, que é (a - b)² = a² - 2ab + b². Nesse caso, temos a = a³ e b = 8. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

(a³ - 8)² = (a³)² - 2(a³)(8) + (8)²

=(a³)² - 16a³ + 64

Agora, vamos calcular o quadrado do primeiro termo (a³)². Para isso, vamos aplicar a regra da potência, que diz que (a^m)ⁿ = a^m*n. Nesse caso, temos m = 3 e n = 2. Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

(a³)² = a^3*2 = a⁶

Portanto, o resultado correto da expansão do produto notável (a³ - 8)² é:

a⁶ - 16a³ + 64

O aluno cometeu um erro no quadrado do primeiro termo, que é a³. Em vez de calcular (a³)² = a⁶, ele calculou (a³)² = a⁹, o que é incorreto. Por isso, a resposta certa é B) quadrado do primeiro termo.

Vamos resolver a expressão (2x - 3y)/(2y - 3x) substituindo os valores de x e y dados. Primeiramente, vamos substituir x por -3a + 2b e y por 3b + 2a:

(2x - 3y)/(2y - 3x) = (2(-3a + 2b) - 3(3b + 2a))/ (2(3b + 2a) - 3(-3a + 2b))

Em seguida, vamos desenvolver a expressão:

(2(-3a + 2b) - 3(3b + 2a))/ (2(3b + 2a) - 3(-3a + 2b)) = (-6a + 4b - 9b - 6a)/ (6b + 4a + 9a - 6b)

Simplificando a expressão:

(-6a + 4b - 9b - 6a)/ (6b + 4a + 9a - 6b) = (-12a - 5b)/(13a)

Portanto, o resultado da expressão (2x - 3y)/(2y - 3x) é igual a - (5b + 12a) / 13a, que é a opção B).

Vamos resolver o produto notável!

O produto notável é uma fórmula matemática que nos ajuda a resolver expressões do tipo (a+b)². Nesse caso, temos (5x-y)².

Para resolver, vamos aplicar a fórmula do produto notável, que é (a+b)² = a² + 2ab + b².

Substituindo os valores, temos:

(5x-y)² = (5x)² - 2(5x)y + y²

(5x-y)² = 25x² - 10xy + y²

Então, a alternativa correta é:

• A)25x2-10xy-y2
• B)25x2-5x2 y2 +y2
• C)25x2-5x2y2 - y2
• D)25x2-10x2 y2- y2
• E)25x2-10xy+y2

Resposta certa: E) 25x²-10xy+y²

Desenvolvendo a expressão ( 10¹⁰+ 4 )³ , obteremos um número inteiro k . A soma de todos os algarismos de k é igual a:

• A)20
• B)22
• C)24
• D)26
• E)28

Vamos resolver essa expressão para descobrir qual é o valor de k. Primeiramente, vamos calcular o valor de 10¹⁰, que é igual a 10.000.000.000. Em seguida, vamos somar 4 a esse valor, obtendo 10.000.000.004. Agora, vamos elevar esse valor à potência de 3, o que nos dá:

(10.000.000.004)³ = 1.000.000.000.000.000.064.256

Agora, vamos somar todos os algarismos desse número:

1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 6 + 4 + 2 + 5 + 6 = 26

Portanto, a soma de todos os algarismos de k é igual a 26, que é a opção D).

É importante notar que, ao desenvolver expressões como essa, é fundamental seguir a ordem das operações, que é: primeiro calcular as potências, em seguida as multiplicações e divisões, e por fim as adições e subtrações. Além disso, é essencial ter atenção aos valores elevados, pois eles podem gerar resultados muito grandes e facilmente confundir.

Além disso, é interessante notar que o valor de k pode ser facilmente calculado utilizando uma calculadora científica, o que pode facilitar o processo. No entanto, é importante saber como desenvolver essas expressões manualmente, pois isso pode ajudar a entender melhor como elas funcionam e como podem ser utilizadas em diferentes contextos.

Em resumo, ao desenvolver a expressão ( 10¹⁰+ 4 )³, obtemos um número inteiro k cuja soma de todos os algarismos é igual a 26. É fundamental ter atenção à ordem das operações e aos valores elevados ao desenvolver expressões como essa.