Qual o valor de a3 – b3 , sabendo que a e b são números reais inteiros positivos tais que, a – b = 3 e ab2 – a2b = 12?

Vamos resolver o problema! Primeiramente, vamos reorganizar as informações que temos:

a e b são números reais inteiros positivos, e sabemos que:

• a - b = 3 ... (eq. 1)
• ab2 - a2b = 12 ... (eq. 2)

Podemos começar rearranjando a equação 2:

ab2 - a2b = (ab) (b - a) = 12

Agora, substituimos a equação 1 em b - a = -3:

(ab) (-3) = 12

Isso significa que ab = -4.

Agora, vamos encontrar a3 - b3. Podemos começar rearranjando a equação 1:

a = b + 3

Elevamos ao cubo ambos os lados:

a3 = (b + 3)3

Expande-se o cubo:

a3 = b3 + 9b2 + 27b + 27

Agora, vamos rearranjar a equação para encontrar a3 - b3:

a3 - b3 = 9b2 + 27b + 27

Agora, vamos encontrar b2. Podemos fazê-lo multiplicando a equação 1 por b:

ab = b2 + 3b

Substituimos ab = -4:

-4 = b2 + 3b

Rearranjamos para encontrar b2:

b2 = -4 - 3b

Agora, vamos substituir b2 na equação acima:

a3 - b3 = 9(-4 - 3b) + 27b + 27

Simplificamos:

a3 - b3 = -36 - 27b + 27b + 27

Simplificamos novamente:

a3 - b3 = -36 + 27

Portanto, o valor de a3 - b3 é:

a3 - b3 = 63

O gabarito correto é B) 63.