Questões Sobre Progressões - Matemática - concurso

A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 3n² – 2n, onde n é um número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são, respectivamente,

• A)7 e 1.
• B)1 e 6.
• C)6 e 1.
• D)1 e 7.
• E)6 e 7.

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a fórmula para o n-ésimo termo (an) da progressão aritmética. Sabemos que a fórmula geral para o n-ésimo termo de uma progressão aritmética é an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.

Já sabemos que a soma dos n primeiros termos é dada por 3n² – 2n. Podemos usar essa informação para encontrar a fórmula para o n-ésimo termo.

Podemos começar escrevendo a fórmula para a soma dos n primeiros termos em função do n-ésimo termo:

a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + ... + (a1 + (n - 1)r) = 3n² – 2n

Agora, podemos reescrever essa fórmula de forma mais compacta:

na1 + r(1 + 2 + ... + (n - 1)) = 3n² – 2n

O próximo passo é encontrar a soma dos números naturais de 1 a n - 1. Essa soma é dada pela fórmula:

1 + 2 + ... + (n - 1) = n(n - 1)/2

Substituindo essa fórmula na equação anterior, obtemos:

na1 + r(n(n - 1)/2) = 3n² – 2n

Agora, podemos comparar os coeficientes de n² e n para encontrar a1 e r.

O coeficiente de n² é 3, que é igual a r/2. Isso significa que r = 6.

O coeficiente de n é -2, que é igual a a1 - r/2. Substituindo r = 6, obtemos:

a1 - 3 = -2 => a1 = 1

Portanto, o primeiro termo é 1 e a razão é 6.

O gabarito correto é, de fato, B) 1 e 6.

Uma companhia verifica mensalmente a presença de algas em um reservatório de água de uma cidade.

No mês de novembro, não há presença de algas no reservatório. Um mês após, nota-se a presença de 18 m² de algas na superfície do reservatório. Após dois meses, verifica-se a presença de 54 m²; após três meses 162 m² e, assim, sucessivamente.

Considerando esta progressão, podemos afirmar que 6 meses após a verificação feita no mês de novembro, a presença de algas na superfície do reservatório sera de:

• A)1458 m2
• B)3822 m2
• C)4374 m2
• D)9633 m2
• E)13122 m2

Vamos analisar a progressão apresentada: 18, 54, 162, ... . Notamos que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por 3. Portanto, para encontrar o termo que representa a presença de algas após 6 meses, devemos multiplicar o termo anterior 3 vezes:

162 (após 3 meses) × 3 = 486 (após 4 meses)
486 × 3 = 1458 (após 5 meses)
1458 × 3 = 4374 (após 6 meses)

Portanto, a resposta correta é C) 4374 m².

Vamos analisar a progressão de contratados por semana. Na primeira semana, foram 8 funcionários. Na segunda, 12. Na terceira, 16. Percebe-se que a quantidade de funcionários contratados aumenta 4 unidades a cada semana.

Para encontrar o número de semanas necessárias para que a empresa contrate mais de 70 funcionários por semana, podemos montar uma tabela:

Constatamos que, a partir da 17ª semana, a empresa passa a contratar mais de 70 funcionários por semana. Portanto, a resposta certa é B) 17 semanas.

Para resolver esse problema, vamos começar pela informação de que as quantidades de balas que os três irmãos comeram formam uma progressão aritmética. Isso significa que a quantidade de balas que cada irmão comeu tem uma razão constante.

Vamos chamar a quantidade de balas que Antônio comeu de x. Como Beatriz comeu 4 balas a mais do que Antônio, então Beatriz comeu x + 4 balas. Além disso, como Carlos comeu mais balas do que Beatriz, então Carlos comeu x + 4 + y balas, onde y é um número inteiro positivo.

Agora, como os três irmãos comeram juntos as 36 balas, podemos escrever a equação:

x + (x + 4) + (x + 4 + y) = 36

Simplificando a equação, obtemos:

3x + 8 + y = 36

Subtraímos 8 de ambos os lados:

3x + y = 28

Como y é um número inteiro positivo, então o menor valor que y pode ter é 1. Portanto, temos:

3x + 1 = 28

Subtraímos 1 de ambos os lados:

3x = 27

Dividimos ambos os lados por 3:

x = 9

Portanto, Antônio comeu 9 - 4 = 5 balas. Mas, como sabemos que Beatriz comeu 4 balas a mais do que Antônio, então Antônio não pode ter comido 5 balas. Isso significa que y deve ser maior do que 1.

Vamos tentar novamente. Se y = 2, então:

3x + 2 = 28

Subtraímos 2 de ambos os lados:

3x = 26

Dividimos ambos os lados por 3:

x = 8.67

Como x não pode ser um número decimal, então y não pode ser igual a 2.

Vamos tentar novamente. Se y = 3, então:

3x + 3 = 28

Subtraímos 3 de ambos os lados:

3x = 25

Dividimos ambos os lados por 3:

x = 8.33

Novamente, x não pode ser um número decimal, então y não pode ser igual a 3.

Vamos tentar novamente. Se y = 4, então:

3x + 4 = 28

Subtraímos 4 de ambos os lados:

3x = 24

Dividimos ambos os lados por 3:

x = 8

Finalmente, encontramos um valor inteiro para x! Portanto, Antônio comeu 8 balas.

• A) 4
• B) 6
• C) 8
• D) 10
• E) 12

O gabarito correto é mesmo C) 8.

O Sr. Antônio, vendedor ambulante de pipocas, está entusiasmado com o seu novo ponto de vendas. No primeiro dia da mudança, vendeu 42 sacos; no segundo, 45; e no terceiro, 48.

Se este padrão de crescimento das vendas se mantiver durante os próximos 30 dias, quantos sacos de pipoca o Sr. Antônio venderá no trigésimo dia?

Vamos analisar o padrão de crescimento das vendas do Sr. Antônio. No primeiro dia, ele vendeu 42 sacos. No segundo dia, houve um aumento de 3 sacos em relação ao dia anterior (45 - 42 = 3). No terceiro dia, houve outro aumento de 3 sacos em relação ao dia anterior (48 - 45 = 3).

Percebe-se que o padrão de crescimento das vendas do Sr. Antônio é de 3 sacos por dia. Para encontrar o número de sacos vendidos no trigésimo dia, precisamos somar 3 sacos por dia durante 27 dias (30 - 3 = 27, pois já sabemos que ele vendeu 48 sacos no terceiro dia).

Portanto, o número de sacos vendidos no trigésimo dia será:

48 (sacos vendidos no terceiro dia) + 3 x 27 (aumento de 3 sacos por dia durante 27 dias) = 48 + 81 = 129

Logo, o Sr. Antônio venderá 129 sacos de pipoca no trigésimo dia.

Resposta certa: C) 129

• A) 87
• B) 90
• C) 129
• D) 132
• E) 180

Em determinada cidade, serão realizados, de 2011 a 2025, concursos anuais para a admissão de novos policiais para a corporação local. A sequência numérica C₀, C₁, ..., C₁₅ corresponde à quantidade de soldados na corporação, a cada ano: C₀ = quantidade de soldados em 2010; C₁ = quantidade de soldados em 2011; e assim sucessivamente. Considerando-se que, no referido período, não haverá saída de soldados da corporação por qualquer motivo e que a sequência C₀, C₁, ..., C₁₅ é uma progressão aritmética, em que C₀ = 380 e C₄ = 500, é correto afirmar que, em 2025, a quantidade de soldados na corporação será

Vamos encontrar a razão da progressão aritmética: r = (C₄ - C₀) / 4 = (500 - 380) / 4 = 120 / 4 = 30.Portanto, a quantidade de soldados em 2025 será C₁₅ = C₀ + 15r = 380 + 15(30) = 380 + 450 = 830.Dessa forma, é correto afirmar que, em 2025, a quantidade de soldados na corporação será superior a 820 e inferior ou igual a 840.

• A)inferior ou igual a 780.
• B)superior a 780 e inferior ou igual a 800.
• C)superior a 800 e inferior ou igual a 820.
• D)superior a 820 e inferior ou igual a 840.
• E)superior a 840.

Em um relatório em que são citados os 15 produtos mais vendidos em uma loja, observa-se que eles estão enumerados em ordem crescente de preços e que, curiosamente, cada item difere do subsequente em R$1,50.
Multiplicando-se o preço do item mais caro dessa lista pelo preço do item mais barato, obtém-se um valor igual a 72.
Então, o preço médio dos itens dessa lista é, em reais, igual a

Vamos começar analisando a informação de que o preço do item mais caro multiplicado pelo preço do item mais barato é igual a 72. Isso significa que o preço do item mais caro é o fator mais alto de 72 e o preço do item mais barato é o fator mais baixo de 72.

Os fatores de 72 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 e 72. Vamos verificar quais pares de fatores possuem uma diferença de R$1,50 entre eles.

Após análise, encontramos que os fatores 6 e 12 atendem ao critério, pois 12 - 6 = 6 e 6 / 1,5 = 4, ou seja, o aumento de preço entre os itens é de R$1,50. Além disso, 12 x 6 = 72, que é o produto do preço do item mais caro com o preço do item mais barato.

Portanto, o preço do item mais caro é R$12,00 e o preço do item mais barato é R$6,00. Para encontrar o preço médio, devemos somar todos os preços e dividir pela quantidade de itens.

O preço do item mais barato é R$6,00 e cada item subsequente aumenta em R$1,50. Isso significa que os preços dos itens são: R$6,00, R$7,50, R$9,00, R$10,50, R$12,00, R$13,50, R$15,00, R$16,50, R$18,00, R$19,50, R$21,00, R$22,50 e R$24,00.

A soma dos preços é igual a R$6,00 + R$7,50 + R$9,00 + R$10,50 + R$12,00 + R$13,50 + R$15,00 + R$16,50 + R$18,00 + R$19,50 + R$21,00 + R$22,50 + R$24,00 = R$202,50.

Para encontrar o preço médio, dividimos a soma dos preços pela quantidade de itens: R$202,50 ÷ 15 = R$13,50.

Logo, o preço médio dos itens dessa lista é, em reais, igual a R$13,50.

• A)8,50
• B)11,00
• C)13,50
• D)16,00
• E)18,50

Vamos resolver essa questão de PA (Progressão Aritmética) passo a passo!

Como a PA tem 5 termos, podemos representá-la como: a₁, a₂, a₃, a₄, a₅.

O primeiro passo é encontrar a razão (r) da PA. Podemos fazer isso utilizando as informações dadas: a₁ + a₃ = 60 mil reais e a₁ + a₅ = 100 mil reais.

Vamos começar pela primeira equação: a₁ + a₃ = 60 mil reais. Como a₃ = a₁ + 2r (uma propriedade das PAs), podemos reescrever a equação como:

a₁ + (a₁ + 2r) = 60 mil reais

Isso nos dá: 2a₁ + 2r = 60 mil reais.

Agora, vamos para a segunda equação: a₁ + a₅ = 100 mil reais. Como a₅ = a₁ + 4r (outra propriedade das PAs), podemos reescrever a equação como:

a₁ + (a₁ + 4r) = 100 mil reais

Isso nos dá: 2a₁ + 4r = 100 mil reais.

Agora, podemos resolver o sistema de equações:

2a₁ + 2r = 60 mil reais ... (1)

2a₁ + 4r = 100 mil reais ... (2)

Subtraindo (1) de (2), podemos eliminar a₁:

2r = 40 mil reais

r = 20 mil reais

Agora que conhecemos a razão, podemos encontrar a₁. Substituindo r na equação (1), temos:

2a₁ + 2(20 mil reais) = 60 mil reais

a₁ = 10 mil reais

Com a₁ e r, podemos encontrar o valor total de compra do imóvel, que é a soma dos 5 termos da PA:

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ =

a₁ + (a₁ + r) + (a₁ + 2r) + (a₁ + 3r) + (a₁ + 4r) =

5a₁ + 10r = 5(10 mil reais) + 10(20 mil reais) = 250 mil reais.

Portanto, o valor total de compra do imóvel foi, em milhares de reais, igual a 250.

Resposta certa: D) 250.

Para resolver esse problema, vamos utilizar as fórmulas de soma de uma progressão geométrica e de soma dos quadrados dos termos de uma progressão geométrica.

Seja r a razão da progressão geométrica e a o primeiro termo. Sabemos que a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica é dada por:

S = a / (1 - r), desde que |r| < 1.

No nosso caso, S = 6, então:

6 = a / (1 - r)

Agora, vamos utilizar a fórmula de soma dos quadrados dos termos de uma progressão geométrica:

S₂ = a² / (1 - r²), desde que |r| < 1.

No nosso caso, S₂ = 12, então:

12 = a² / (1 - r²)

Agora, vamos substituir a pela expressão encontrada anteriormente:

a = 6(1 - r)

Substituindo em S₂ = a² / (1 - r²), temos:

12 = [6(1 - r)]² / (1 - r²)

Desenvolvendo a equação, obtemos:

12 = 36[(1 - r)² / (1 - r²)]

12 = 36[(1 - 2r + r²) / (1 - r²)]

12 = 36[(1 - 2r + r²) / (1 - 2r + r²)]

12 = 36

Agora, podemos encontrar o valor de r. Voltando à equação a = 6(1 - r), podemos isolar r:

r = 1 - a/6

Como sabemos que |r| < 1, então r é um valor entre 0 e 1.

Substituindo os valores possíveis de a (1, 3, 6, 9, 12) em r = 1 - a/6, encontramos:

Se a = 1, then r = 1 - 1/6 = 5/6, que é maior que 1.

Se a = 3, then r = 1 - 3/6 = 1/2, que é menor que 1.

Se a = 6, then r = 1 - 6/6 = 0, que é menor que 1.

Se a = 9, then r = 1 - 9/6 = -1/2, que é menor que 1.

Se a = 12, then r = 1 - 12/6 = -1, que é maior que 1.

Portanto, o único valor possível para a é 3.

• A) 1
• B) 3
• C) 6
• D) 9
• E) 12

O gabarito correto é B) 3.

Vamos examinar a sequência d_n mais de perto. Sabemos que c_n é o termo geral de uma progressão aritmética decrescente, portanto, podemos escrever c_n = a + (n - 1)r, onde a é o primeiro termo e r é a razão da progressão.

Agora, substituindo c_n na definição de d_n, temos d_n = f(c_n) = f(a + (n - 1)r) = 2(a + (n - 1)r) + 5 = 2a + 2(n - 1)r + 5.

Note que d_n também é uma progressão aritmética, pois sua fórmula geral apresenta a forma d_n = α + βn, onde α = 2a + 5 e β = 2r.

Além disso, como r é a razão de uma progressão aritmética decrescente, temos que r < 0, portanto, β = 2r < 0. Isso significa que d_n é uma progressão aritmética decrescente.

Portanto, a resposta correta é a opção B) aritmética decrescente.