A soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica, cuja razão tem módulo menor que 1, é igual a 6, e a soma dos quadrados dos termos dessa progressão é igual a 12.Quanto vale o primeiro termo da progressão geométrica?

Para resolver esse problema, vamos utilizar as fórmulas de soma de uma progressão geométrica e de soma dos quadrados dos termos de uma progressão geométrica.

Seja r a razão da progressão geométrica e a o primeiro termo. Sabemos que a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica é dada por:

S = a / (1 - r), desde que |r| < 1.

No nosso caso, S = 6, então:

6 = a / (1 - r)

Agora, vamos utilizar a fórmula de soma dos quadrados dos termos de uma progressão geométrica:

S₂ = a² / (1 - r²), desde que |r| < 1.

No nosso caso, S₂ = 12, então:

12 = a² / (1 - r²)

Agora, vamos substituir a pela expressão encontrada anteriormente:

a = 6(1 - r)

Substituindo em S₂ = a² / (1 - r²), temos:

12 = [6(1 - r)]² / (1 - r²)

Desenvolvendo a equação, obtemos:

12 = 36[(1 - r)² / (1 - r²)]

12 = 36[(1 - 2r + r²) / (1 - r²)]

12 = 36[(1 - 2r + r²) / (1 - 2r + r²)]

12 = 36

Agora, podemos encontrar o valor de r. Voltando à equação a = 6(1 - r), podemos isolar r:

r = 1 - a/6

Como sabemos que |r| < 1, então r é um valor entre 0 e 1.

Substituindo os valores possíveis de a (1, 3, 6, 9, 12) em r = 1 - a/6, encontramos:

Se a = 1, then r = 1 - 1/6 = 5/6, que é maior que 1.

Se a = 3, then r = 1 - 3/6 = 1/2, que é menor que 1.

Se a = 6, then r = 1 - 6/6 = 0, que é menor que 1.

Se a = 9, then r = 1 - 9/6 = -1/2, que é menor que 1.

Se a = 12, then r = 1 - 12/6 = -1, que é maior que 1.

Portanto, o único valor possível para a é 3.

• A) 1
• B) 3
• C) 6
• D) 9
• E) 12

O gabarito correto é B) 3.