A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 3n2 – 2n, onde n é um número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são, respectivamente,

A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por 3n² – 2n, onde n é um número natural. Para essa progressão, o primeiro termo e a razão são, respectivamente,

• A)7 e 1.
• B)1 e 6.
• C)6 e 1.
• D)1 e 7.
• E)6 e 7.

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a fórmula para o n-ésimo termo (an) da progressão aritmética. Sabemos que a fórmula geral para o n-ésimo termo de uma progressão aritmética é an = a1 + (n - 1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão.

Já sabemos que a soma dos n primeiros termos é dada por 3n² – 2n. Podemos usar essa informação para encontrar a fórmula para o n-ésimo termo.

Podemos começar escrevendo a fórmula para a soma dos n primeiros termos em função do n-ésimo termo:

a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + ... + (a1 + (n - 1)r) = 3n² – 2n

Agora, podemos reescrever essa fórmula de forma mais compacta:

na1 + r(1 + 2 + ... + (n - 1)) = 3n² – 2n

O próximo passo é encontrar a soma dos números naturais de 1 a n - 1. Essa soma é dada pela fórmula:

1 + 2 + ... + (n - 1) = n(n - 1)/2

Substituindo essa fórmula na equação anterior, obtemos:

na1 + r(n(n - 1)/2) = 3n² – 2n

Agora, podemos comparar os coeficientes de n² e n para encontrar a1 e r.

O coeficiente de n² é 3, que é igual a r/2. Isso significa que r = 6.

O coeficiente de n é -2, que é igual a a1 - r/2. Substituindo r = 6, obtemos:

a1 - 3 = -2 => a1 = 1

Portanto, o primeiro termo é 1 e a razão é 6.

O gabarito correto é, de fato, B) 1 e 6.