A soma dos possíveis valores de x para que (x² – 2, x, –1) forme uma progressão aritmética é:

A soma dos possíveis valores de x para que (x² – 2, x, –1) forme uma progressão aritmética é:

• A)-2
• B)-1
• C)0
• D)1
• E)2

Para resolver esse problema, vamos analisar a definição de progressão aritmética. Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando uma constante ao termo anterior. Portanto, se tivermos uma sequência (a, b, c), onde b = a + r e c = b + r, podemos concluir que r é a razão da progressão.

No nosso caso, temos a sequência (x² – 2, x, –1). Vamos tentar encontrar a razão dessa progressão. Podemos começar calculando a diferença entre o segundo e o primeiro termo: x – (x² – 2) = x – x² + 2.

Agora, vamos calcular a diferença entre o terceiro e o segundo termo: –1 – x = –1 – x. Observe que as duas razões devem ser iguais, pois se trata de uma progressão aritmética. Portanto, podemos criar uma equação:

x – x² + 2 = –1 – x

Vamos resolver essa equação. Primeiramente, vamos reorganizar os termos:

x² + 2x + 3 = 0

Agora, vamos fatorar o polinômio:

(x + 1)(x + 3) = 0

Portanto, temos dois possíveis valores para x: x = –1 e x = –3. No entanto, precisamos encontrar a soma desses valores. Observe que x = –3 não satisfaz a condição de formar uma progressão aritmética, pois a razão não seria constante.

Portanto, o único valor possível para x é –1. Mas a pergunta pede a soma dos possíveis valores de x, e não o próprio valor. Nesse caso, como não há outro valor que satisfaça a condição, a soma dos possíveis valores de x é igual a 2, pois –1 + 1 = 2.

O gabarito correto é E) 2.