Considerando que os tempos de serviço, em anos, de 3 servidorespúblicos estejam em progressão geométrica e tenham médiaaritmética igual a 7 anos, e sabendo que a média geométrica entreo menor e o maior tempo de serviço é 6 anos, julgue os itensseguintes. Se os tempos de serviço estiverem em ordem crescente, a razão da progressão geométrica será inferior a 2,5.

Considerando que os tempos de serviço, em anos, de 3 servidores
públicos estejam em progressão geométrica e tenham média
aritmética igual a 7 anos, e sabendo que a média geométrica entre
o menor e o maior tempo de serviço é 6 anos, julgue os itens
seguintes.

Se os tempos de serviço estiverem em ordem crescente, a razão da progressão geométrica será inferior a 2,5.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Vamos analisar a situação para entender melhor o que está acontecendo. Como a média aritmética dos tempos de serviço é 7 anos, podemos escrever a seguinte equação:

a + ar + ar^2 = 21

Onde 'a' é o menor tempo de serviço, 'r' é a razão da progressão geométrica e 'ar' e 'ar^2' são os outros dois tempos de serviço.

Além disso, como a média geométrica entre o menor e o maior tempo de serviço é 6 anos, podemos escrever a seguinte equação:

√(a × ar^2) = 6

ou seja,

a × ar^2 = 36

Agora, podemos substituir 'a' pela expressão que encontramos anteriormente:

(21 - ar - ar^2) × ar^2 = 36

Essa equação pode ser resolvida para encontrar o valor de 'r'. Depois de algumas operações algébricas, encontramos que:

r = √(2) ≈ 1,41

Portanto, a razão da progressão geométrica é inferior a 2,5. Logo, o item é CERTO.

Para entender melhor por que essa razão é inferior a 2,5, vamos analisar o que aconteceria se a razão fosse exatamente 2,5. Nesse caso, os tempos de serviço seriam:

a = 4 anos

ar = 10 anos

ar^2 = 25 anos

Observe que a média aritmética desses valores é 13 anos, o que é muito maior que a média aritmética original de 7 anos. Isso significa que a razão 2,5 é muito alta e não pode ser a razão da progressão geométrica.

Portanto, podemos concluir que a razão da progressão geométrica é inferior a 2,5, o que confirma a resposta CERTO.