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Considere uma sequência infinita de retângulos, cada um deles com base medindo 1cm e tais que o primeiro tem altura 1m e, a partir do segundo, a altura de cada retângulo mede um décimo da altura do anterior. Seja Sn a soma das áreas dos n primeiros retângulos dessa sequência, expressa em cm2 . Pode-se afirmar que
Considere uma sequência infinita de retângulos, cada um deles com base medindo 1cm e tais que o primeiro tem altura 1m e, a partir do segundo, a altura de cada retângulo mede um décimo da altura do anterior.
Seja Sn a soma das áreas dos n primeiros retângulos dessa sequência, expressa em cm2 . Pode-se afirmar que
Seja Sn a soma das áreas dos n primeiros retângulos dessa sequência, expressa em cm2 . Pode-se afirmar que
- A)S3 = 110
- B)S7 < 111
- C)existe n natural tal que Sn é um número irracional
- D)existe n natural tal que Sn = 111,1111111
- E)Sn < 111,01 para todo natural não nulo n
Resposta:
A alternativa correta é D)
Vamos calcular a área de cada retângulo e, em seguida, somá-las para encontrar a expressão geral de Sn.
O primeiro retângulo tem base 1cm e altura 1m, ou seja, 100cm, portanto, sua área é de 100cm². O segundo retângulo tem altura um décimo da anterior, ou seja, 10cm, e base 1cm, portanto, sua área é de 10cm². O terceiro retângulo tem altura um décimo da anterior, ou seja, 1cm, e base 1cm, portanto, sua área é de 1cm².
Percebe-se que a área do enésimo retângulo é de 100/10^(n-1) cm².
Assim, a soma das áreas dos n primeiros retângulos é Sn = 100 + 10 + 1 + 100/10 + ... + 100/10^(n-1).
Podemos reescrever essa soma como Sn = 111 - 100/10^n.
Vemos que Sn é um número racional para todo natural não nulo n. Além disso, podemos fazer Sn aproximar-se de 111 tanto quanto desejarmos, escolhendo um n suficientemente grande.
Por exemplo, para n = 7, temos S7 ≈ 111,1111. Para n = 8, temos S8 ≈ 111,11111. E assim por diante.
Portanto, existe um n natural tal que Sn = 111,1111111, que é exatamente a opção D).
As opções A) e B) são facilmente eliminadas, pois S3 > 110 e S7 > 111. Já a opção C) é falsa, pois Sn é sempre racional. E a opção E) também é falsa, pois Sn pode ser arbitrariamente próximo de 111.
O primeiro retângulo tem base 1cm e altura 1m, ou seja, 100cm, portanto, sua área é de 100cm². O segundo retângulo tem altura um décimo da anterior, ou seja, 10cm, e base 1cm, portanto, sua área é de 10cm². O terceiro retângulo tem altura um décimo da anterior, ou seja, 1cm, e base 1cm, portanto, sua área é de 1cm².
Percebe-se que a área do enésimo retângulo é de 100/10^(n-1) cm².
Assim, a soma das áreas dos n primeiros retângulos é Sn = 100 + 10 + 1 + 100/10 + ... + 100/10^(n-1).
Podemos reescrever essa soma como Sn = 111 - 100/10^n.
Vemos que Sn é um número racional para todo natural não nulo n. Além disso, podemos fazer Sn aproximar-se de 111 tanto quanto desejarmos, escolhendo um n suficientemente grande.
Por exemplo, para n = 7, temos S7 ≈ 111,1111. Para n = 8, temos S8 ≈ 111,11111. E assim por diante.
Portanto, existe um n natural tal que Sn = 111,1111111, que é exatamente a opção D).
As opções A) e B) são facilmente eliminadas, pois S3 > 110 e S7 > 111. Já a opção C) é falsa, pois Sn é sempre racional. E a opção E) também é falsa, pois Sn pode ser arbitrariamente próximo de 111.
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