Considere x ∈ ( 0,π/2) o valor que faz com que os termos sen(x) , 2cos( 2x) e 3sen (x ) formem, nessa ordem, uma progressão aritmética. A soma dos três termos dessa progressão é igual a:

Essa soma pode ser escrita como sen(x) + 2cos(2x) + 3sen(x). Como os termos formam uma progressão aritmética, sabemos que a diferença entre o primeiro e o segundo termos é igual à diferença entre o segundo e o terceiro termos. Logo, temos que:
2cos(2x) - sen(x) = 3sen(x) - 2cos(2x)
Simplificando a equação acima, obtemos:
4cos(2x) = 4sen(x)
Dividindo ambos os lados por 4, obtemos:
cos(2x) = sen(x)
Usando a identidade trigonométrica cos(2x) = 1 - 2sen²(x), podemos reescrever a equação acima como:
1 - 2sen²(x) = sen(x)
Agora, podemos reorganizar a equação acima como uma equação do segundo grau em sen(x):
2sen²(x) + sen(x) - 1 = 0
Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:
sen²(x) + (1/2)sen(x) - (1/2) = 0
Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos:
sen(x) = 1 ou sen(x) = -1/2
No entanto, como x ∈ (0,π/2), sabemos que sen(x) > 0. Logo, a solução é sen(x) = 1.
Substituindo sen(x) = 1 na soma dos termos da progressão aritmética, obtemos:
sen(x) + 2cos(2x) + 3sen(x) = 1 + 2cos(2) + 3 = 4 + 2(1 - 2sen²) + 3 = 7 - 4sen²
Como sen(x) = 1, temos que sen² = 1. Logo, a soma é igual a:
7 - 4 = 3
Portanto, a resposta certa é A) 3.