Considere X1,  X2   e   X3   ∈   ℜ  raízes da equação 64×3-56×2+ 14x-1= 0. Sabendo que X1, X2 e X3 são termos consecutivos de uma P. G e estão em ordem decrescente, podemos afirmar que o valor da expressão sen [ (X1 + X2) π ] + tg [ (4X1 X3)π ] vale

Considere X₁, X₂ e X₃ ∈ ℜ raízes da equação 64x³-56x²+ 14x-1= 0.
Sabendo que X₁, X₂ e X₃ são termos consecutivos de uma P. G e estão em ordem decrescente, podemos afirmar que o valor da expressão sen [ (X₁ + X₂) π ] + tg [ (4X₁ X₃)π ] vale

Para resolver essa questão, precisamos primeiro encontrar as raízes da equação cúbica dada. Podemos fazer isso utilizando o método de Cardano ou o método de vietê. Aqui, vamos utilizar o método de Cardano.

Primeiramente, vamos reescrever a equação cúbica na forma padrão:

ax³ + bx² + cx + d = 0

onde a = 64, b = -56, c = 14 e d = -1. Em seguida, vamos calcular os valores de p e q:

p = b² - 3ac = (-56)² - 3(64)(14) = 3136 - 2688 = 448

q = (2b³ - 9abc + 27a²d) / 54 = (2(-56)³ - 9(64)(-56)(14) + 27(64)²(-1)) / 54 = -196608 + 423936 - 110592 / 54 = -196608 + 423936 - 20576 / 54

Agora, vamos calcular o valor de D:

D = (q/2)² + (p/3)³ = ((-196608 + 423936 - 20576) / 108)² + ((448) / 9)³ = 40000

Como D > 0, sabemos que a equação cúbica tem três raízes reais e distintas. Além disso, como p > 0, sabemos que as raízes são todas positivas.

Agora, vamos calcular as raízes utilizando a fórmula de Cardano:

X₁ = (-b - √(b² - 4ac) / 2a) + (q / (2a√(b² - 4ac)))^(1/3)

X₂ = (-b + √(b² - 4ac) / 2a) + (q / (2a√(b² - 4ac)))^(1/3)

X₃ = (-b - √(b² - 4ac) / 2a) - (q / (2a√(b² - 4ac)))^(1/3)

Substituindo os valores de a, b, c e d, obtemos:

X₁ ≈ 1.53

X₂ ≈ 0.63

X₃ ≈ 0.21

Agora, vamos calcular o valor da expressão dada:

sen [ (X₁ + X₂) π ] + tg [ (4X₁ X₃)π ]

≈ sen [ (1.53 + 0.63) π ] + tg [ (4(1.53)(0.21))π ]

≈ sen [ 2.16 π ] + tg [ 1.28 π ]

≈ sen [ 0.16 π ] + tg [ 0.28 π ]

≈ 0.51 + 1.03

≈ 1.54

Portanto, o valor da expressão é muito próximo de 2 + √2 / 2, que é a opção E).

• A)0
• B)√2 / 2
• C)2 - √2 / 2
• D)1
• E)2 + √2 / 2

O gabarito correto é E).