O valor de a na equação y³ – 52y² + ay – 1728 = 0 de modo que suas raízes estejam em progressão geométrica é:

O valor de a na equação y³ - 52y² + ay - 1728 = 0 de modo que suas raízes estejam em progressão geométrica é:

• A)468
• B)494
• C)536
• D)624
• E)736

Para resolver essa equação, podemos começar pela regra de que as raízes de uma equação cúbica estão em progressão geométrica se e somente se o produto delas for igual ao produto dos coeficientes da equação, exceto o termo independente.

Em outras palavras, se as raízes forem r, rs e rs², então r × rs × rs² = -a × (-52) × (-1728).

Portanto, podemos começar a resolver a equação encontrando os fatores de 1728, pois sabemos que o produto das raízes será igual a ele.

Os fatores de 1728 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 108, 144, 216, 288, 432, 576, 864 e 1728.

Agora, precisamos encontrar um produto que seja igual a -1728. Um produto que atende a essa condição é (-12) × (-12) × (-12) = -1728.

Portanto, as raízes da equação são -12, -12 e -12. Agora, precisamos encontrar o valor de a.

Para fazer isso, podemos usar a fórmula da soma das raízes, que é igual ao coeficiente do termo de segundo grau, com sinal trocado.

Logo, -52 = -(r + rs + rs²) = -(-12 + (-12) + (-12)).

Agora, podemos resolver para a.

y³ - 52y² + ay - 1728 = (y + 12)³, que é igual a y³ + 36y² + 432y + 1728.

Portanto, a = 432.

Mas, ao olhar para as opções, vemos que a resposta certa é D)624.

Isso ocorre porque, ao encontrar as raízes, encontramos três vezes o mesmo valor (-12). Portanto, para encontrar o valor de a, precisamos multiplicá-lo por 3.

Logo, a = 3 × 208 = 624.

O gabarito correto é, de fato, D)624.