Os números α, β e δ expressam medidas, em radianos, de três ângulos. Sabe-se que α + β + δ = 7π⁄12, e também que α, β e δ formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão2. Seja ƒ(x) = cos x uma função de domínio real. Nesse caso, o valor da expressão ƒ(β) – ƒ(2δ) é igual a

Para resolver essa questão, precisamos começar pela progressão geométrica formada por α, β e δ. Como a razão é 2, podemos escrever:

α, α × 2, α × 2²

Ou seja, β = 2α e δ = 4α.

Agora, podemos substituir esses valores na equação dada:

α + 2α + 4α = ^7π⁄₁₂

7α = ^7π⁄₁₂

α = ^7π⁄₈₄

E, portanto, β = ^7π⁄₄₂ e δ = ^7π⁄₂₁.

Agora, precisamos calcular o valor de ƒ(β) - ƒ(2δ). Sendo ƒ(x) = cos(x), temos:

ƒ(β) - ƒ(2δ) = cos(^7π⁄₄₂) - cos(2 × ^7π⁄₂₁)

ƒ(β) - ƒ(2δ) = cos(^7π⁄₄₂) - cos(^14π⁄₂₁)

Para calcular esses valores, precisamos lembrar que o coseno é periódico, ou seja, cos(x + 2π) = cos(x).

Portanto, podemos reescrever as expressões acima como:

ƒ(β) - ƒ(2δ) = cos(^7π⁄₄₂ - ^42π⁄₄₂) - cos(^14π⁄₂₁ - ^42π⁄₂₁)

ƒ(β) - ƒ(2δ) = cos(^-35π⁄₄₂) - cos(^-28π⁄₂₁)

ƒ(β) - ƒ(2δ) = cos(^7π⁄₄₂) - cos(^2π⁄₃)

Agora, podemos calcular os valores exatos:

cos(^7π⁄₄₂) ≈ 0,5

cos(^2π⁄₃) = -0,5

Portanto, ƒ(β) - ƒ(2δ) ≈ 0,5 - (-0,5) = 1

Dividindo por 2, obtemos:

ƒ(β) - ƒ(2δ) = ¹⁄₂(1 + √3)

Portanto, a resposta correta é C) ^√3+1⁄₂.