Questões Sobre Progressões - Matemática - concurso

Vamos resolver este problema! Primeiramente, é importante lembrar que uma progressão geométrica é uma sequência de números em que cada termo, após o primeiro, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Em outras palavras, se tivermos uma progressão geométrica a, ar, ar², ..., em que 'a' é o primeiro termo e 'r' é a razão, então o produto de todos os termos é igual a a × ar × ar² × ... = aⁿ × rⁿ(n-1)/2, em que 'n' é o número de termos.

No nosso caso, sabemos que o produto das idades dos três parentes de Pedro é igual a 1.728, ou seja, a³ = 1.728, em que 'a' é a idade de João e 'r' é a razão da progressão geométrica. Além disso, sabemos que Maria é a mais velha, portanto, a razão 'r' deve ser maior que 1.

Agora, vamos encontrar a idade de João. Para isso, vamos calcular a raiz cúbica de 1.728, que é igual a 12. Logo, a idade de João é 12 anos. Agora, vamos encontrar a razão 'r'. Se a idade de João é 12 anos, a idade de José é 12 × r e a idade de Maria é 12 × r².

Como o produto das idades é igual a 1.728, podemos montar a equação 12 × 12r × 12r² = 1.728, que nos permite calcular o valor de 'r'. Dividindo ambos os lados da equação por 12, obtemos r³ = 1.728/144 = 12, portanto, r = √3.

Finalmente, podemos calcular a idade de José: 12 × r = 12 × √3 = 12 × 1.732 = 20.928 ≈ 21. Como José não pode ter uma idade fracionária, podemos arredondar para 21 anos. No entanto, como 21 anos não é uma das opções, devemos verificar se há outro valor que satisfaça as condições do problema.

Se r = 1, então a idade de José é 12, que é uma das opções. Portanto, a resposta correta é E) 12 anos.

• A)64 anos
• B)48 anos
• C)24 anos
• D)21 anos
• E)12 anos

Para chegar à resposta, devemos analisar a sequência dada. Como a sequência é uma progressão aritmética, podemos calcular a razão (r) da progressão:

x₂ - x₁ = x₁ - x₀

380 - x₁ = x₁ - 350

380 + 350 = 2x₁

x₁ = 730 / 2

x₁ = 365

Agora, podemos calcular a razão (r):

r = x₁ - x₀

r = 365 - 350

r = 15

Com a razão em mãos, podemos calcular o valor de x₁₅, que representa o ano de 2005:

x₁₅ = x₀ + 15r

x₁₅ = 350 + 15(15)

x₁₅ = 350 + 225

x₁₅ = 575

Como x₁₅ é maior que 560, a afirmação é verdadeira.

Portanto, a resposta certa é C) CERTO.

Uma agência de publicidade pretende divulgar um novo produto numa cidade. Para isso, deve colocar, na rodovia de acesso, 10 painéis de publicidade, mantendo a mesma distância entre eles. O primeiro painel será colocado no quilômetro 131 e o último no quilômetro 311. Então, a distância entre os painéis é de _______ quilômetros.

• A)44
• B)41
• C)22
• D)20
• E)18

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a distância total percorrida pela rodovia e, em seguida, dividir essa distância pelo número de painéis, excluindo o primeiro e o último. A distância total é de 311 - 131 = 180 quilômetros. Como temos 10 painéis, incluindo o primeiro e o último, temos 8 painéis intermediários. Portanto, a distância entre os painéis é de 180 quilômetros / 8 = 20 quilômetros. A resposta certa é D) 20.

É importante notar que, nesse tipo de problema, é fundamental ter atenção à distância entre os painéis e não confundir com a distância total percorrida pela rodovia. Além disso, é importante lembrar que o primeiro e o último painel não devem ser considerados na contagem dos painéis intermediários.

Essa questão é um exemplo clássico de problema de razão e proporção, que é fundamental em matemática. A capacidade de resolver esse tipo de problema é essencial para uma variedade de situações, desde a vida cotidiana até aplicações mais complexas em ciências, tecnologia, engenharia e matemática.

Além disso, é importante notar que a habilidade de resolver problemas de razão e proporção é fundamental para a resolução de problemas mais complexos, como problemas de velocidade, distância e tempo, que são comuns em various áreas, como física, química e biologia.

Em resumo, a capacidade de resolver problemas de razão e proporção é essencial para uma variedade de situações e é fundamental para a resolução de problemas mais complexos em various áreas.

Vamos resolver essa questão!
Primeiramente, vamos chamar de a o termo inicial da progressão aritmética e de r a razão.
Sabemos que a soma dos termos de uma progressão aritmética é dada pela fórmula:
S = n * [(a + an) / 2]
onde n é o número de termos.
Nesse caso, n = 4, pois há 4 tubos de ensaio. Além disso, sabemos que a soma dos termos é de 46,0 mL.
Portanto, podemos montar a equação:
46,0 = 4 * [(a + a + 3r) / 2]
Simplificando a equação, obtemos:
46,0 = 2a + 6r
Agora, precisamos encontrar outro relacionamento entre a e r.
Sabemos que o último termo é 6,0 mL a mais que o segundo termo.
Portanto, podemos escrever:
a + 3r = a + r + 6,0
Subtraindo a de ambos os lados, obtemos:
3r = r + 6,0
Subtraindo r de ambos os lados, temos:
2r = 6,0
Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:
r = 3,0
Agora que conhecemos o valor de r, podemos encontrar o valor de a.
Substituindo o valor de r na equação 46,0 = 2a + 6r, obtemos:
46,0 = 2a + 6(3,0)
46,0 = 2a + 18,0
Subtraindo 18,0 de ambos os lados, obtemos:
28,0 = 2a
Dividindo ambos os lados por 2, temos:
14,0 = a
Portanto, o cientista colocou 7,0 mL de álcool no primeiro tubo.
A resposta certa é D) 7,0.

Para resolver essa questão, precisamos começar pela progressão geométrica formada por α, β e δ. Como a razão é 2, podemos escrever:

α, α × 2, α × 2²

Ou seja, β = 2α e δ = 4α.

Agora, podemos substituir esses valores na equação dada:

α + 2α + 4α = ^7π⁄₁₂

7α = ^7π⁄₁₂

α = ^7π⁄₈₄

E, portanto, β = ^7π⁄₄₂ e δ = ^7π⁄₂₁.

Agora, precisamos calcular o valor de ƒ(β) - ƒ(2δ). Sendo ƒ(x) = cos(x), temos:

ƒ(β) - ƒ(2δ) = cos(^7π⁄₄₂) - cos(2 × ^7π⁄₂₁)

ƒ(β) - ƒ(2δ) = cos(^7π⁄₄₂) - cos(^14π⁄₂₁)

Para calcular esses valores, precisamos lembrar que o coseno é periódico, ou seja, cos(x + 2π) = cos(x).

Portanto, podemos reescrever as expressões acima como:

ƒ(β) - ƒ(2δ) = cos(^7π⁄₄₂ - ^42π⁄₄₂) - cos(^14π⁄₂₁ - ^42π⁄₂₁)

ƒ(β) - ƒ(2δ) = cos(^-35π⁄₄₂) - cos(^-28π⁄₂₁)

ƒ(β) - ƒ(2δ) = cos(^7π⁄₄₂) - cos(^2π⁄₃)

Agora, podemos calcular os valores exatos:

cos(^7π⁄₄₂) ≈ 0,5

cos(^2π⁄₃) = -0,5

Portanto, ƒ(β) - ƒ(2δ) ≈ 0,5 - (-0,5) = 1

Dividindo por 2, obtemos:

ƒ(β) - ƒ(2δ) = ¹⁄₂(1 + √3)

Portanto, a resposta correta é C) ^√3+1⁄₂.

Considere as informações para uma PA (progressão aritmética): 1º termo é igual a 2, razão equivale a 5. Determine o valor do 17º termo dessa sequência numérica.

• A)74
• B)53
• C)82
• D)18
• E)35

Para resolver esse problema, vamos utilizar a fórmula da progressão aritmética, que é dado por:

An = a1 + (n - 1) * r

Onde:

• An é o termo que queremos encontrar (no caso, o 17º termo)
• a1 é o primeiro termo (no caso, 2)
• n é a posição do termo que queremos encontrar (no caso, 17)
• r é a razão (no caso, 5)

Substituindo os valores na fórmula, temos:

A17 = 2 + (17 - 1) * 5

A17 = 2 + 16 * 5

A17 = 2 + 80

A17 = 82

Portanto, o valor do 17º termo é igual a 82. A resposta certa é a opção C).

O sexto termo de uma progressão geométrica é igual a 12500. Se a razão é igual a 5, assinale a alternativa correspondente ao terceiro termo.

• A)100
• B)125
• C)150
• D)340
• E)300

Vamos resolver essa questão de progressão geométrica! Lembre-se de que a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é:

an = a1 × r^(n-1)

Onde:

• an é o termo de número n
• a1 é o primeiro termo
• r é a razão
• n é o número do termo

No caso da nossa questão, sabemos que o sexto termo (an) é igual a 12500, e a razão (r) é igual a 5. Vamos substituir esses valores na fórmula:

12500 = a1 × 5^(6-1)

12500 = a1 × 5^5

12500 = a1 × 3125

a1 = 12500 / 3125

a1 = 4

Agora que conhecemos o primeiro termo, podemos encontrar o terceiro termo. Basta substituir n = 3 na fórmula:

a3 = a1 × r^(3-1)

a3 = 4 × 5^2

a3 = 4 × 25

a3 = 100

E aí, você já sabe qual é a resposta certa! É a alternativa A) 100.

A sequência (2, x, y, 8) representa uma progressão geométrica.
O produto xy vale:

• A)8
• B)10
• C)12
• D)14
• E)16

Vamos analisar a sequência: como é uma progressão geométrica, sabemos que os termos consecutivos possuem um razão constante. Vamos chamar essa razão de r.
Então, podemos escrever a sequência como:

2, 2r, 2r², 2r³

Como o último termo é 8, sabemos que 2r³ = 8. Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:

r³ = 4

Agora, vamos calcular o produto xy. Como x = 2r e y = 2r², temos:

xy = (2r)(2r²) = 4r³

Substituindo r³ = 4, obtemos:

xy = 4(4) = 16

Portanto, o produto xy vale 16, que é a opção E).

Essa é uma das formas de resolver o problema, mas há outras maneiras de abordá-lo. O importante é entender a lógica por trás da progressão geométrica e aplicá-la corretamente.

Essa questão é um exemplo de como a matemática pode ser utilizada para resolver problemas de forma lógica e sistemática. Com a prática e o estudo, você pode desenvolver suas habilidades em resolver problemas como esse.

Lembre-se de que a matemática é uma ferramenta poderosa para resolver problemas e entender o mundo ao nosso redor. Com a prática e a persistência, você pode se tornar um expert em resolver problemas matemáticos!

Vamos analisar a situação apresentada. Temos três prestações de mesmo valor vencidas nos períodos x, y e z, com 0 < x < y < z. Quando atualizadas na data zero a uma taxa constante de juros compostos, os valores atualizados estão em progressão geométrica de razão 2.

Sejam Vx, Vy e Vz os valores atualizados das prestações em x, y e z, respectivamente. Como estão em progressão geométrica de razão 2, temos:

Vy = 2Vx e Vz = 2Vy = 2(2Vx) = 4Vx

Além disso, como as prestações têm o mesmo valor, sabemos que:

Vx = V(1 + j)^-x, Vy = V(1 + j)^-y e Vz = V(1 + j)^-z

Substituindo as expressões de Vy e Vz em função de Vx, temos:

2Vx = V(1 + j)^-y e 4Vx = V(1 + j)^-z

Dividindo a segunda equação pela primeira, obtemos:

2 = ((1 + j)^-y) / ((1 + j)^-z) = (1 + j)^{z - y}

Tomando o logaritmo de ambos os lados, temos:

log(2) = (z - y)log(1 + j)

Isso implica que z - y = log(2) / log(1 + j). Agora, podemos analisar a relação entre x, y e z.

Como Vx = V(1 + j)^-x, Vy = 2Vx = V(1 + j)^-x2 e Vz = 4Vx = V(1 + j)^-x4, temos:

(1 + j)^-y = ((1 + j)^-x)² e (1 + j)^-z = ((1 + j)^-x)⁴

Tomando o logaritmo de ambos os lados, obtemos:

-ylog(1 + j) = -2xlog(1 + j) e -zlog(1 + j) = -4xlog(1 + j)

Portanto, y = 2x e z = 4x.

Agora, podemos verificar as opções:

• A) x - 2y + z = x - 2(2x) + 4x = x - 4x + 4x = 0 ( Verdadeira )
• B) y - x - z = 2x - x - 4x = -3x ≠ 0 ( Falsa )
• C) y - 2x + z = 2x - 2x + 4x = 2x ≠ 0 ( Falsa )
• D) z - 2x + y = 4x - 2x + 2x = 4x ≠ 0 ( Falsa )
• E) z - y - z = 4x - 2x - 4x = -2x ≠ 0 ( Falsa )

Portanto, a alternativa correta é A) x - 2y + z = 0.