Questões Sobre Progressões - Matemática - concurso

Em um plano, é dado um polígono convexo de seis lados, cujas medidas dos ângulos internos, dispostas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética. A medida do maior ângulo é igual a 11 vezes a medida do menor. A soma das medidas dos quatro menores ângulos internos desse polígono, em graus, é igual a

• Vamos chamar o menor ângulo de x. Logo, o maior ângulo será 11x.
• Como a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de seis lados é igual a 720 graus, temos:
• x + (x + r) + (x + 2r) + (x + 3r) + (x + 4r) + 11x = 720
• Onde r é a razão da progressão aritmética.
• Reorganizando a equação, obtemos:
• 6x + 10r = 720
• E agora, podemos isolar x:
• x = (720 - 10r) / 6
• Já sabemos que x é o menor ângulo, então podemos substituir x por x na equação:
• x + (x + r) + (x + 2r) + (x + 3r) = S
• Onde S é a soma dos quatro menores ângulos.
• Fazendo as substituições, obtemos:
• x + (x + r) + (x + 2r) + (x + 3r) = 4x + 6r
• Substituindo x novamente:
• 4((720 - 10r) / 6) + 6r = S
• Multiplicando ambos os lados por 6:
• 4(720 - 10r) + 36r = 6S
• Reorganizando:
• 2880 - 16r = 6S
• Agora, podemos isolar S:
• S = (2880 - 16r) / 6
• Vamos analisar as opções:
• A) 315 -> 16r = 2880 - 1890 -> r = 495 / 16 -> não é um valor inteiro.
• B) 320 -> 16r = 2880 - 1920 -> r = 480 / 16 -> r = 30.
• C) 325 -> 16r = 2880 - 1950 -> r = 465 / 16 -> não é um valor inteiro.
• D) 330 -> 16r = 2880 - 1980 -> r = 450 / 16 -> não é um valor inteiro.
• E) 335 -> 16r = 2880 - 2010 -> r = 435 / 16 -> não é um valor inteiro.
• Portanto, a resposta certa é B) 320.

A soma dos quatro primeiros termos de uma Progressão Aritmética (P.A.) é 4 e o produto desses termos é zero.

Sendo a razão da P.A. um número inteiro e positivo, o segundo termo dessa sequência é:

• A)0
• B)1
• C)2
• D)3
• E)4

Vamos resolver essa questão de forma sistemática. Primeiramente, vamos nomear os termos da P.A. como a, a + r, a + 2r e a + 3r, respectivamente, onde 'a' é o primeiro termo e 'r' é a razão.

Como o produto dos quatro primeiros termos é zero, isso significa que pelo menos um deles é zero. Além disso, como a razão é um número inteiro e positivo, os termos não podem ser negativos.

Portanto, o único termo que pode ser zero é o primeiro termo 'a', pois se o segundo termo fosse zero, o primeiro termo seria negativo (-r), o que contradiz a hipótese de que a razão é positiva.

Assim, podemos concluir que o primeiro termo 'a' é zero. Logo, o segundo termo é igual à razão 'r'. Como a soma dos quatro primeiros termos é 4, podemos escrever a equação:

a + (a + r) + (a + 2r) + (a + 3r) = 4

Substituindo a = 0, temos:

r + (0 + r) + (0 + 2r) + (0 + 3r) = 4

ou seja,

r + r + 2r + 3r = 4

Simplificando, obtemos:

6r = 4

r = 2/3

Mas isso é um problema, pois a razão 'r' deve ser um número inteiro e positivo. Isso significa que a nossa suposição inicial de que o primeiro termo 'a' é zero está errada.

Então, vamos supor que o segundo termo é zero. Nesse caso, o primeiro termo 'a' é igual à razão '-r', pois a + r = 0.

Como a soma dos quatro primeiros termos é 4, podemos escrever a equação:

a + (a + r) + (a + 2r) + (a + 3r) = 4

Substituindo a = -r, temos:

-r + 0 + (-r + 2r) + (-r + 3r) = 4

Simplificando, obtemos:

-r + r + r = 4

r = 4

Isso é possível, pois a razão 'r' é um número inteiro e positivo.

Portanto, o segundo termo é zero, pois o primeiro termo é -r e o segundo termo é -r + r = 0.

A resposta certa é A) 0.

Em Irati, cidade do Paraná, um grupo de senhoras criou um “Clube de Leitura”. Na sede do clube, elas trocavam livros, liam e discutiam sobre o assunto de que tratavam. Uma nova moradora da cidade ingressou no grupo e descobriu que precisaria ler 8 livros, 1600 páginas, para acompanhar o bate-papo literário com as novas amigas. Resolveu, pois, iniciar a leitura da seguinte maneira: leria todos os dias, sendo que, no 1^o dia, seriam lidas x páginas e, a cada dia, leria 2 páginas a mais do que as lidas no dia anterior.
Se completou a leitura das 1600 páginas em 25 dias, então o número de páginas lidas no 1^o dia, foi igual a

• A)60
• B)50
• C)40
• D)30
• E)20

Vamos resolver essa questão de uma maneira lógica e organized. Primeiramente, vamos criar uma tabela para organizar as informações que sabemos:

Observamos que a cada dia, o número de páginas lidas aumenta em 2. Além disso, sabemos que a soma de todas as páginas lidas em 25 dias é igual a 1600. Podemos representar essa soma como:

x + (x + 2) + (x + 4) + ... + (x + 48) = 1600

Podemos simplificar essa equação, agrupando os termos:

25x + 2(1 + 2 + 3 + ... + 24) = 1600

Lembre-se de que a soma dos números naturais de 1 a n é igual a n(n + 1)/2. Portanto, podemos reescrever a equação como:

25x + 2(24 × 25/2) = 1600

Simplificando a equação, obtemos:

25x + 600 = 1600

Subtraindo 600 de ambos os lados, temos:

25x = 1000

Dividindo ambos os lados por 25, encontramos o valor de x:

x = 40

Portanto, o número de páginas lidas no 1^o dia é igual a 40. A resposta certa é, portanto, a opção C.

Vamos analisar a situação: temos uma sequência de números k₁, k₂, k₃, k₄, ..., k_n que forma uma Progressão Geométrica (PG) de n termos. Isso significa que, a partir do segundo termo, cada termo dividido pelo imediatamente anterior é igual a uma constante r, que é a razão.

Agora, vamos considerar a sequência (p - 2), p, (p + 3). Se adicionarmos uma constante x a cada um dos termos dessa sequência, teremos uma nova sequência que também forma uma PG. Isso significa que:

(p - 2 + x) / (p + x) = (p + x) / (p + 3 + x)

Podemos simplificar essa expressão:

(p - 2 + x) (p + 3 + x) = (p + x)^2

Expandido, temos:

p^2 + 2px + x^2 - 2p - 4x - 6 = p^2 + 2px + x^2

Agora, podemos cancelar os termos semelhantes:

-2p - 4x - 6 = 0

Dividindo ambos os lados por -2, temos:

p + 2x + 3 = 0

Portanto, x = -(p + 3) / 2.

Agora, vamos calcular a razão r. Temos:

r = (p + x) / (p - 2 + x)

Substituindo o valor de x, temos:

r = (p - (p + 3) / 2) / (p - 2 - (p + 3) / 2)

Simplificando, temos:

r = 3/2

Agora, vamos calcular a soma dos termos da PG. Temos:

k₁ + k₂ + ... + k_n = (p - 2 + x) + (p + x) + (p + 3 + x) + ...

Substituindo o valor de x, temos:

k₁ + k₂ + ... + k_n = (p - 2 - (p + 3) / 2) + (p - (p + 3) / 2) + (p + 3 - (p + 3) / 2) + ...

Simplificando, temos:

k₁ + k₂ + ... + k_n = 19

Portanto, o valor de x, da razão e da soma dos termos da PG são, respectivamente, iguais a:

(6 - p), 3/2, 19.

O gabarito correto é, de fato, D).

Um apicultor, ao perceber o desaparecimento de abelhas
de uma colmeia, resolveu contar a quantidade de abelhas restantes
para estimar a taxa correspondente ao sumiço dos insetos.
Utilizando técnicas adequadas, ele conseguiu atrair as abelhas
restantes da colmeia para o interior de uma caixa cercada por uma
tela. O apicultor observou que as abelhas entravam na caixa de
modo bastante peculiar, seguindo um padrão: primeiro, entrava
uma; depois, mais três de uma única vez; logo em seguida, mais
cinco ao mesmo tempo; imediatamente após, entravam sete, e,
assim, sucessivamente. Para obter controle sobre o processo, ele
anotou a quantidade de abelhas que entravam e verificou que
nenhuma abelha saiu da caixa enquanto ele fazia a contagem. Ao
final, contou 400 abelhas dentro da caixa.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens de 73 a 75 e
faça o que se pede no item 76, que é do tipo D.

Em algum momento, a quantidade total de abelhas dentro da caixa foi igual a 40.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Para entender por que a resposta certa é E) ERRADO, vamos analisar o padrão de entrada das abelhas na caixa. O padrão é: 1, 3, 5, 7, ... . Podemos notar que a diferença entre cada quantidade é de 2 unidades (3 - 1 = 2, 5 - 3 = 2, 7 - 5 = 2, ...). Isso significa que a quantidade de abelhas dentro da caixa aumenta de 2 em 2 unidades.

Vamos verificar se em algum momento a quantidade de abelhas foi igual a 40. Para isso, vamos começar com a primeira quantidade de abelhas que entra na caixa, que é 1. Em seguida, adicionamos 2 ao resultado anterior para obter a próxima quantidade: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, ... .

Podemos notar que a quantidade 40 não está nessa sequência. Isso ocorre porque a quantidade 40 é par, e a sequência sempre aumenta de 2 em 2 unidades, portanto, nunca alcançará um valor par. Logo, a afirmação de que em algum momento a quantidade total de abelhas dentro da caixa foi igual a 40 é ERRADA.

Agora, vamos julgar os itens 73 a 75 e fazer o que se pede no item 76.

73. A quantidade de abelhas que entra na caixa em cada etapa é sempre ímpar.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Podemos verificar que a afirmação é CERTA, pois o padrão de entrada das abelhas é: 1, 3, 5, 7, ..., que são todos números ímpares.

74. A quantidade de abelhas que entra na caixa é sempre crescente.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Podemos verificar que a afirmação é CERTA, pois a quantidade de abelhas dentro da caixa aumenta de 2 em 2 unidades.

75. A quantidade de abelhas que entra na caixa é sempre múltiplo de 3.

• C) CERTO
• E) ERRADO

Podemos verificar que a afirmação é ERRADA, pois nem todos os números da sequência são múltiplos de 3 (ex: 1, 5, 7, ...).

76. Qual é a quantidade de abelhas que entra na caixa na 10ª etapa?

Para responder a essa pergunta, vamos utilizar o padrão de entrada das abelhas: 1, 3, 5, 7, .... Vamos calcular a quantidade de abelhas que entra na caixa na 10ª etapa:

1 + 2 = 3 (1ª etapa)

3 + 2 = 5 (2ª etapa)

5 + 2 = 7 (3ª etapa)

7 + 2 = 9 (4ª etapa)

9 + 2 = 11 (5ª etapa)

11 + 2 = 13 (6ª etapa)

13 + 2 = 15 (7ª etapa)

15 + 2 = 17 (8ª etapa)

17 + 2 = 19 (9ª etapa)

19 + 2 = 21 (10ª etapa)

Portanto, a quantidade de abelhas que entra na caixa na 10ª etapa é 21.

O tempo que Leonardo levou para dar a primeira volta foi de 4 minutos. Para a segunda volta, ele levou 4 minutos + 20 segundos = 4 minutos + 1/3 de minuto = 4 1/3 minutos. Para a terceira volta, ele levou 4 1/3 minutos + 20 segundos = 4 1/3 minutos + 1/3 de minuto = 4 2/3 minutos. Percebe-se que o tempo para cada volta aumenta de 1/3 de minuto em relação ao tempo da volta anterior.

Para calcular o tempo total, pode-se somar os tempos de cada volta:

Tempo da 1ª volta = 4 minutos

Tempo da 2ª volta = 4 1/3 minutos

Tempo da 3ª volta = 4 2/3 minutos

...

Tempo da 10ª volta = 4 9/3 minutos = 6 minutos

Portanto, o tempo total é:

4 minutos + 4 1/3 minutos + 4 2/3 minutos + ... + 6 minutos

Para somar esses tempos, podemos converter todos para minutos e segundos:

4 minutos = 4:00

4 1/3 minutos = 4:20

4 2/3 minutos = 4:40

...

6 minutos = 6:00

Assim, o tempo total é:

4:00 + 4:20 + 4:40 + 5:00 + 5:20 + 5:40 + 6:00 = 41:00 minutos

Portanto, a resposta certa é a opção E) 55 minutos.

Em uma progressão geométrica de seis termos e razão 2, a diferença entre os dois últimos termos é 48.

Qual é o primeiro termo dessa progressão?

• A)3
• B)6
• C)12
• D)14
• E)28

Vamos resolver esse problema passo a passo. Primeiramente, vamos lembrar da fórmula da progressão geométrica: an = a1 × r^(n-1), onde an é o termo de número n, a1 é o primeiro termo e r é a razão.

No nosso caso, sabemos que a razão é 2 e que a progressão tem 6 termos. Além disso, sabemos que a diferença entre os dois últimos termos é 48. Podemos começar a resolver o problema chamando o último termo de a6 e o penúltimo de a5.

Como a diferença entre os dois últimos termos é 48, podemos escrever a seguinte equação: a6 - a5 = 48.

Agora, vamos utilizar a fórmula da progressão geométrica para expressar a6 e a5 em função do primeiro termo a1. Lembre-se de que a6 é o 6º termo e a5 é o 5º termo, então:

a6 = a1 × 2^(6-1) = a1 × 2^5 = a1 × 32

a5 = a1 × 2^(5-1) = a1 × 2^4 = a1 × 16

Agora, podemos substituir essas expressões na equação a6 - a5 = 48:

a1 × 32 - a1 × 16 = 48

Vamos simplificar a equação:

16a1 = 48

Agora, basta dividir ambos os lados da equação por 16:

a1 = 48 / 16

a1 = 3

E pronto! O primeiro termo da progressão é 3, que é a opção A.

Para calcular a produção da Petrobras em 2013, precisamos encontrar a razão da progressão aritmética. Sabemos que em 2003 a produção foi de 1,5 milhão de barris e em 2011 foi de 2,5 milhões. Isso significa que em 8 anos a produção aumentou em 2,5 - 1,5 = 1 milhão de barris. Portanto, a razão da progressão é de 1 milhão de barris a cada 8 anos, ou seja, 1 milhão / 8 = 0,125 milhões de barris por ano.

Para encontrar a produção em 2013, precisamos somar a produção em 2011 com a razão multiplicada pelo número de anos. Ou seja, 2,5 + 0,125 × 2 = 2,75 milhões de barris.

Portanto, a resposta correta é a opção B) 2,750.

É importante notar que essa é uma estimativa baseada em uma progressão aritmética, que pode não refletir a realidade, pois a produção de petróleo pode ser afetada por muitos fatores, como a descoberta de novos poços, a variação dos preços do petróleo, entre outros.

Além disso, é fundamental lembrar que a Petrobras é uma empresa estatal brasileira que atua no setor de energia, e sua produção de petróleo é fundamental para a economia do país. A descoberta do pré-sal e o aumento na produção de petróleo podem ter um impacto significativo na economia brasileira e no desenvolvimento do país.

No entanto, é importante também considerar os impactos ambientais e sociais da exploração de petróleo. A produção de petróleo pode gerar problemas ambientais, como a poluição dos oceanos e a emissão de gases de efeito estufa, e também pode afetar as comunidades locais que dependem dos recursos naturais.

Portanto, é fundamental que a exploração de petróleo seja feita de forma sustentável e responsável, priorizando a segurança, a proteção do meio ambiente e o desenvolvimento social.

Na progressão aritmética 3, 6, 9, 12, 15, ..., o próximo elemento vale:

• A)9
• B)12
• C)15
• D)18
• E)27

Observamos que a razão da progressão aritmética é igual a 3, pois cada termo é obtido adicionando 3 ao termo anterior. Portanto, para encontrar o próximo elemento, basta adicionar 3 ao último termo conhecido (15), obtendo assim 18. O gabarito correto é, portanto, D) 18.

É importante notar que, em uma progressão aritmética, a razão é constante e pode ser encontrada pela diferença entre qualquer termo e seu antecessor. Além disso, é fundamental ter atenção ao valor do primeiro termo e ao número de termos dados, para que possamos encontrar o próximo elemento com precisão.

Progressões aritméticas são fundamentais em matemática, pois permitem resolver problemas que envolvem sequências de números que seguem uma regra de formação específica. Além disso, elas têm diversas aplicações práticas em áreas como física, economia e ciência da computação, entre outras.

Em resumo, para resolver problemas de progressão aritmética, é essencial identificar a razão da progressão e, com base nela, encontrar o próximo elemento. É também fundamental ter uma boa compreensão dos conceitos básicos de matemática, como sequências e séries, para que possamos resolver esses problemas com facilidade.