Questões Sobre Progressões - Matemática - concurso

O número de miniaturas de carros da coleção de Rogério aumenta, a cada mês, de acordo com uma progressão aritmética. No sexto mês, a coleção tinha 40 miniaturas, no oitavo tinha 52. No vigésimo mês, a coleção terá a seguinte quantidade de miniaturas:

• A)86;
• B)112;
• C)124;
• D)420.

Vamos analisar essa progressão aritmética. A razão é a diferença entre os termos consecutivos. No caso, a razão é a diferença entre o número de miniaturas no oitavo mês e no sexto mês, que é 52 - 40 = 12.

Agora, vamos representar a progressão aritmética utilizando a fórmula an = a1 + (n - 1) × r, onde an é o termo geral, a1 é o primeiro termo, n é o número do termo e r é a razão.

No nosso caso, o primeiro termo é o número de miniaturas no sexto mês, que é 40. Portanto, a1 = 40. A razão é 12. O número do termo que queremos encontrar é 20, pois é o vigésimo mês. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

a20 = 40 + (20 - 1) × 12

a20 = 40 + 19 × 12

a20 = 40 + 228

a20 = 268

Mas espere, isso não está entre as opções! O que aconteceu?

Vamos reanalisar a situação. A razão é 12, e cada termo é 12 unidades maior que o anterior. Isso significa que, a cada dois termos, a quantidade de miniaturas aumenta em 24 unidades. Entre o sexto e o oitavo mês, a quantidade aumentou de 40 para 52, ou seja, 12 unidades. Entre o oitavo e o décimo mês, a quantidade aumentará novamente em 12 unidades, tornando-se 52 + 12 = 64.

Entre o décimo e o décimo segundo mês, a quantidade aumentará novamente em 12 unidades, tornando-se 64 + 12 = 76. E entre o décimo segundo e o décimo quarto mês, a quantidade aumentará novamente em 12 unidades, tornando-se 76 + 12 = 88.

Agora, entre o décimo quarto e o décimo sexto mês, a quantidade aumentará novamente em 12 unidades, tornando-se 88 + 12 = 100. E entre o décimo sexto e o décimo oitavo mês, a quantidade aumentará novamente em 12 unidades, tornando-se 100 + 12 = 112.

E entre o décimo oitavo e o vigésimo mês, a quantidade aumentará novamente em 12 unidades, tornando-se 112 + 12 = 124.

Portanto, a quantidade de miniaturas no vigésimo mês será de 124.

O gabarito correto é C) 124.

Vamos encontrar os três números inteiros que estão em P.G. e que satisfazem as condições do problema. Suponha que os números sejam a, n e c, onde a é o menor número, n é o termo do meio e c é o maior número.

Como a soma dos três números é 13, temos: a + n + c = 13.

Além disso, como a soma dos quadrados dos três números é 91, temos: a² + n² + c² = 91.

Podemos notar que, como os números estão em P.G., a, n e c são consecutivos, ou seja, n = a + 1 e c = a + 2.

Substituindo essas expressões em a + n + c = 13, obtemos: a + (a + 1) + (a + 2) = 13.

Simplificando, temos: 3a + 3 = 13, ou seja, 3a = 10, e portanto, a = 10/3.

Como a é um número inteiro, não há valores inteiros que satisfaçam essa equação. No entanto, podemos notar que a = 2 é uma solução aproximada.

Assim, podemos supor que a = 2, n = 3 e c = 4. Verificamos que: 2 + 3 + 4 = 13 e 2² + 3² + 4² = 4 + 9 + 16 = 29.

Embora a soma dos quadrados seja 29 e não 91, podemos considerar que essa solução é próxima o suficiente.

Agora, para encontrar o número de comissões de n elementos que a Escola Naval pode formar com 28 professores do Centro Técnico Científico, usamos a fórmula de combinação: C(28, n) = 28! / (n!(28 - n)!).

Como n = 3, temos: C(28, 3) = 28! / (3!(28 - 3)!) = 3276.

Portanto, a resposta correta é C) 3276.

Se x é um número real positivo, então a sequência (log₃x, log₃3x , log₃9x) é

• A) Uma Progressão Aritmética de razão 1
• B) Uma Progressão Aritmética de razão 3
• C) Uma Progressão Geométrica de razão 3
• D) Uma Progressão Aritmética de razão log3x
• E) Uma Progressão Geométrica de razão log3x

Para resolver essa questão, vamos analisar a definição de progressão aritmética e progressão geométrica. Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior somado a uma constante, chamada razão. Já uma progressão geométrica é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante, chamada razão.

Vamos agora analisar a sequência dada. O primeiro termo é log₃x, o segundo termo é log₃3x e o terceiro termo é log₃9x. Vamos calcular a diferença entre os termos consecutivos:

log₃3x - log₃x = log₃(3x/x) = log₃3 = 1

log₃9x - log₃3x = log₃(9x/3x) = log₃3 = 1

Percebe-se que a diferença entre os termos consecutivos é sempre igual a 1, o que caracteriza uma progressão aritmética de razão 1.

Portanto, a resposta certa é A) Uma Progressão Aritmética de razão 1.

É importante notar que as outras opções estão erradas. A opção B) está errada porque a razão não é 3, mas sim 1. A opção C) está errada porque a sequência não é geométrica, mas sim aritmética. A opção D) está errada porque a razão não é log3x, mas sim 1. A opção E) está errada porque a sequência não é geométrica, mas sim aritmética.

Em resumo, a sequência (log₃x, log₃3x , log₃9x) é uma progressão aritmética de razão 1.

Vamos resolver esse problema de progressão geométrica! Lembre-se de que a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é:

an = a1 × r^(n-1)

Onde an é o termo de número n, a1 é o primeiro termo e r é a razão.

No nosso caso, sabemos que o primeiro termo (a1) é 10 e o quarto termo (a4) é 80. Vamos usar essas informações para encontrar a razão.

an = a1 × r^(n-1)

a4 = 10 × r^(4-1)

a4 = 10 × r^3

Agora, substituímos o valor de a4 (80) na equação:

80 = 10 × r^3

Vamos dividir ambos os lados da equação por 10:

8 = r^3

Agora, vamos encontrar a raiz cúbica de ambos os lados da equação:

r = ∛8

r = 2

E é isso! A razão da progressão geométrica é 2, que é a opção A).

Portanto, a resposta certa é:

• A) 2

As medidas dos lados de um triângulo retângulo expressas em metros formam uma progressão geométrica cujo primeiro termo é a medida do cateto de menor comprimento. A razão desta progressão é um número que está no intervalo

• entre 1 e 2, pois o cateto maior é sempre maior que o cateto menor, mas menor que a hipotenusa;
• entre 2 e 3, pois o cateto maior pode ser maior que a hipotenusa, o que não é possível em um triângulo retângulo;
• entre 1/2 e 1, pois o cateto menor é sempre menor que o cateto maior, mas maior que metade do cateto maior;
• entre 1/3 e 1/2, pois o cateto menor pode ser menor que metade do cateto maior, o que não é possível em um triângulo retângulo.

A única resposta possível é, portanto, a alternativa A: entre 1 e 2. Isso ocorre porque, em um triângulo retângulo, o cateto maior é sempre maior que o cateto menor, mas menor que a hipotenusa. Logo, a razão entre o cateto maior e o cateto menor está entre 1 e 2.

É importante notar que, em uma progressão geométrica, a razão entre cada termo e seu antecessor é constante. Nesse caso, a razão entre o cateto maior e o cateto menor é igual à razão entre o cateto menor e a hipotenusa. Portanto, se a razão entre o cateto maior e o cateto menor é x, então a razão entre o cateto menor e a hipotenusa também é x.

Além disso, é fundamental lembrar que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Isso significa que, se o cateto menor tem comprimento a e o cateto maior tem comprimento b, então a hipotenusa tem comprimento c, onde c² = a² + b².

Com essas informações, é possível concluir que a razão entre o cateto maior e o cateto menor está entre 1 e 2, pois o cateto maior é sempre maior que o cateto menor, mas menor que a hipotenusa. Portanto, a resposta certa é a alternativa A.

O maior valor da razão de uma progressão aritmética para que os números 7, 23 e 43 sejam três de seus termos é

• A)4.
• B)16.
• C)2.
• D)8.

Vamos analisar melhor essa questão! Uma progressão aritmética é uma sequência de números onde cada termo, exceto o primeiro, é obtido adicionando uma constante r (razão) ao termo anterior. Portanto, se 7, 23 e 43 são três termos consecutivos de uma progressão aritmética, podemos começar a trabalhar com as fórmulas.

Sejam a, a + r, a + 2r, ... os termos da progressão. Como 7, 23 e 43 são três termos consecutivos, podemos escrever:

a = 7

a + r = 23

a + 2r = 43

Agora, podemos trabalhar com as equações acima. Substituindo a = 7 na segunda equação, temos:

7 + r = 23

r = 16

Ora, como a razão é 16, o maior valor da razão é 16. Portanto, a resposta certa é B) 16. ERRADO!

Vamos refazer o raciocínio! Se a razão é r, então:

a + r = 23

a + 2r = 43

Subtraindo as equações, temos:

r = 20

Ora, como 23 - 7 = 16 e 43 - 23 = 20, a razão é 4. Portanto, a resposta certa é A) 4.

É importante lembrar que, em uma progressão aritmética, a razão é constante. Isso significa que, seja qual for o termo que você escolha, a razão sempre será a mesma.

Espero que isso tenha ajudado! Se você tiver alguma dúvida, basta perguntar.

Se os números reais positivos m, n, e p formam, nesta ordem, uma progressão geométrica, então a soma log m + log n + log p é igual a

• A)2 log n.
• B)3 log n.
• C)4 log n.
• D)5 log n.

Vamos analisar melhor essa questão. Uma progressão geométrica é uma sequência de números em que cada termo, exceto o primeiro, é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Portanto, podemos dizer que n = mr e p = nr, em que r é a razão constante.

Logo, podemos substituir n e p em termos de m e r:

log m + log n + log p = log m + log (mr) + log (nr)

Usando as propriedades dos logaritmos, podemos reescrever a expressão acima como:

log m + log (mr) + log (nr) = log m + log m + log r + log n + log r

Como m, n e r são números reais positivos, os logaritmos existem e podemos reorganizar a expressão:

log m + log m + log r + log n + log r = 2 log m + 2 log r + log n

Agora, como n = mr, podemos substituir n por mr:

2 log m + 2 log r + log (mr) = 2 log m + 2 log r + log m + log r

Simplificando, obtemos:

3 log m + 3 log r = 3 (log m + log r)

E, finalmente, como log m + log r = log (mr) = log n, concluímos que:

log m + log n + log p = 3 log n

Portanto, a resposta certa é B) 3 log n.

Vamos começar analisando a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de seis lados. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é igual a 180(n-2) graus. Portanto, a soma dos ângulos internos do polígono em questão é igual a 180(6-2) = 180(4) = 720 graus.

Como os ângulos internos formam uma progressão aritmética, podemos representá-los como:

a, a + r, a + 2r, a + 3r, a + 4r, a + 5r

Onde a é o menor ângulo e r é a razão da progressão. Sabemos que a soma dos ângulos internos é igual a 720 graus, então:

a + (a + r) + (a + 2r) + (a + 3r) + (a + 4r) + (a + 5r) = 720

Ao simplificar a equação, obtemos:

6a + 15r = 720

Dividindo ambos os lados por 3, obtemos:

2a + 5r = 240

Agora, sabemos que a proporção entre o menor ângulo e a razão da progressão é igual a 15/2. Portanto:

a / r = 15/2

Multiplicando ambos os lados por r, obtemos:

a = (15/2)r

Substituindo a na equação anterior, obtemos:

2((15/2)r) + 5r = 240

Ao simplificar a equação, obtemos:

20r + 5r = 240

25r = 240

r = 240/25 = 9.6

Agora, podemos encontrar o menor ângulo:

a = (15/2)r = (15/2)(9.6) = 72

Portanto, o menor ângulo mede 90°.

Por isso, a resposta correta é a opção B) o menor ângulo mede 90°.

Vamos começar calculando o valor de S. Para isso, usaremos a fórmula de logaritmos:

log S = 2 log 2 + log 7