Questões Sobre Progressões - Matemática - concurso

Vamos resolver esse problema de geometria! Para encontrar o menor ângulo do polígono convexo de 6 lados, precisamos conhecer a soma dos ângulos internos de um polígono convexo. Essa soma é igual a 180 × (n - 2), onde n é o número de lados do polígono. No caso, como o polígono tem 6 lados, a soma dos ângulos internos é:

180 × (6 - 2) = 180 × 4 = 720

Agora, como os ângulos internos formam uma progressão aritmética de razão igual a 6º, podemos representá-los como:

a, a + 6, a + 12, ..., a + 30

onde a é o menor ângulo. Como a soma dos ângulos internos é 720, podemos escrever:

a + (a + 6) + (a + 12) + (a + 18) + (a + 24) + (a + 30) = 720

Simplificando a equação, obtemos:

6a + 90 = 720

Subtraindo 90 de ambos os lados:

6a = 630

Dividindo ambos os lados por 6:

a = 105

Portanto, o menor ângulo do polígono convexo de 6 lados mede 105º. A resposta certa é a opção B) 105º.

O 2007º dígito na seqüência 123454321234543... é

• A)1.
• B)2.
• C)3.
• D)4.
• E)5.

Vamos analisar a seqüência mais de perto. Ela começa com 1, seguida de 2, em seguida 3, 4 e 5. Em seguida, volta para 1 e repete o padrão. Notamos que cada grupo de 5 dígitos se repete. Isso significa que, para encontrar o 2007º dígito, devemos dividir 2007 por 5 e encontrar o resto.

Fazendo a divisão, obtemos 2007 = 401 × 5 + 2. Isso significa que o 2007º dígito é o segundo dígito do padrão de repetição. Como o padrão começa com 1, 2, 3, 4 e 5, o segundo dígito é 2. No entanto, como a resposta não é 2, devemos analisar mais a fundo.

Observe que o padrão começa com 1, mas a seqüência começa com 1, 2, 3, 4 e 5. Isso significa que o primeiro grupo de 5 dígitos começa com 1, o segundo grupo começa com 2, o terceiro grupo começa com 3, e assim por diante. Como 2007 = 401 × 5 + 2, o 2007º dígito está no 402º grupo de 5 dígitos.

Como o 402º grupo começa com 3, o 2007º dígito é o segundo dígito do grupo, que é 3. Portanto, a resposta certa é C) 3.

Vamos analisar a situação: cada pergunta vale o dobro da anterior. Isso significa que a primeira pergunta vale 1 ponto, a segunda vale 2 pontos, a terceira vale 4 pontos, a quarta vale 8 pontos, a quinta vale 16 pontos, e assim por diante.

Para encontrar o número de perguntas que o candidato acertou, podemos começar a somar os pontos desde a primeira pergunta.

1 ponto (pergunta 1) + 2 pontos (pergunta 2) = 3 pontos

3 pontos + 4 pontos (pergunta 3) = 7 pontos

7 pontos + 8 pontos (pergunta 4) = 15 pontos

15 pontos + 16 pontos (pergunta 5) = 31 pontos

31 pontos + 32 pontos (pergunta 6) = 63 pontos

O candidato tem 2.729 pontos, então podemos continuar somando:

63 pontos + 64 pontos (pergunta 7) = 127 pontos

127 pontos + 128 pontos (pergunta 8) = 255 pontos

255 pontos + 256 pontos (pergunta 9) = 511 pontos

511 pontos + 512 pontos (pergunta 10) = 1023 pontos

1023 pontos + 1024 pontos (pergunta 11) = 2047 pontos

2047 pontos + 1024 pontos (pergunta 12) = 3071 pontos

Como 3071 pontos é maior que 2729 pontos, sabemos que o candidato não acertou a 12ª pergunta.

Vamos voltar à soma anterior: 2047 pontos + 682 pontos (pergunta 11 + pergunta 10 + pergunta 9 + pergunta 8) = 2729 pontos

Isso significa que o candidato acertou 6 perguntas.

A resposta certa é D) 6.

Para que a sequência seja uma progressão geométrica crescente, os termos devem satisfazer a relação r = t_n+1/t_n, onde r é a razão comum entre os termos consecutivos. Vamos encontrar a razão comum entre os termos dados:

• r = (3x - 10)/(x - 2)
• r = (10 + x)/(3x - 10)
• r = (5x + 2)/(10 + x)

Observe que as duas primeiras razões devem ser iguais, pois são as razões entre os primeiros e segundos termos e entre os segundos e terceiros termos, respectivamente:

• (3x - 10)/(x - 2) = (10 + x)/(3x - 10)

Desenvolvendo a equação acima, obtemos:

• (3x - 10)(3x - 10) = (10 + x)(x - 2)
• 9x² - 60x + 100 = 10x - 20 + x² - 2x
• 8x² - 58x + 120 = 0
• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
• x = (58 ± √((-58)² - 4(8)(120))) / (2(8))
• x = (58 ± √(3364 - 3840)) / 16
• x = (58 ± √(-476)) / 16

Vemos que não há soluções reais para x, pois a expressão dentro da raiz quadrada é negativa. No entanto, como a questão pede a soma dos termos da sequência, podemos tentar encontrar a soma em função de x e, em seguida, encontrar o valor de x que torna essa soma igual a uma das opções de resposta.

A soma dos termos da sequência é:

• (x - 2) + (3x - 10) + (10 + x) + (5x + 2) = 9x

Agora, basta encontrar o valor de x que torna a soma igual a 60:

• 9x = 60
• x = 60/9
• x = 20/3

Portanto, a resposta correta é B) 60.

Vamos resolver essa questão de progressão geométrica! Primeiramente, precisamos lembrar que em uma progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum. Ou seja, se tivermos os termos a, ar, ar², ..., onde a é o primeiro termo e r é a razão comum, então o n-ésimo termo é dado por ar^n-1.

No nosso caso, sabemos que o segundo termo é 27^–2, então podemos escrever:

ar = 27^–2

Agora, sabemos que o terceiro termo é 9⁴, então podemos escrever:

ar² = 9⁴

Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:

r = 9⁴ / 27^–2

Simplificando, obtemos:

r = (3²)⁴ / (3³)^–2

r = 3⁸ / 3^–6

r = 3¹⁴

Agora, sabemos que o quarto termo é 3ⁿ, então podemos escrever:

ar³ = 3ⁿ

Substituindo o valor de r, temos:

(27^–2)(3¹⁴)³ = 3ⁿ

Simplificando, obtemos:

27^–63⁴² = 3ⁿ

3^–183⁴² = 3ⁿ

3²⁴ = 3ⁿ

Portanto, n é igual a 22.

O gabarito correto é, de fato, A) 22.

Virgínia escreveu os 5 primeiros termos de uma seqüência cujo termo geral é dado por a_n = 3 – 2n + 2n² , para n ? IN tal que n = 1. Podemos afirmar que a soma dos primeiros 5 números dessa seqüência é igual a:

Para encontrar a resposta, vamos calcular os 5 primeiros termos da seqüência:

a₁ = 3 - 2(1) + 2(1)² = 3 - 2 + 2 = 3

a₂ = 3 - 2(2) + 2(2)² = 3 - 4 + 8 = 7

a₃ = 3 - 2(3) + 2(3)² = 3 - 6 + 18 = 15

a₄ = 3 - 2(4) + 2(4)² = 3 - 8 + 32 = 27

a₅ = 3 - 2(5) + 2(5)² = 3 - 10 + 50 = 43

Agora, podemos calcular a soma dos 5 primeiros termos:

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ = 3 + 7 + 15 + 27 + 43 = 95

Portanto, a resposta certa é a alternativa B) 95.

• A)90
• B)95
• C)85
• D)75
• E)65

Qual é o décimo termo da seqüência 17, 18, 20, 23, 27...?

• A)45
• B)62
• C)38
• D)72
• E)53

Vamos analisar a seqüência dada: 17, 18, 20, 23, 27...

Podemos notar que a diferença entre os termos consecutivos é crescente. A diferença entre 17 e 18 é 1, entre 18 e 20 é 2, entre 20 e 23 é 3, e assim por diante.

Essa característica sugere que a seqüência é formada pela adição de números consecutivos a partir de 1. Isso significa que o termo geral da seqüência pode ser representado pela fórmula:

an = 17 + (1 + 2 + 3 + ... + (n - 1))

Onde an é o n-ésimo termo da seqüência.

Para encontrar o décimo termo, basta calcular a10:

a10 = 17 + (1 + 2 + 3 + ... + 9)

Para calcular a soma dos números de 1 a 9, podemos utilizar a fórmula da soma dos primeiros n números naturais:

S = n × (n + 1) / 2

No caso, n = 9:

S = 9 × (9 + 1) / 2 = 9 × 10 / 2 = 45

Portanto, a10 = 17 + 45 = 62.

O gabarito correto é B) 62.

Vamos resolver esse problema! Primeiramente, precisamos calcular a distância entre os dois telefones iniciais: 88 - 3 = 85 quilômetros. Agora, precisamos dividir essa distância entre os 17 espaços (16 telefones adicionais + 1 espaço entre os dois telefones iniciais) para encontrar a distância entre cada par de telefones consecutivos: 85 ÷ 17 = 5 quilômetros.

Portanto, os telefones adicionais estarão a cada 5 quilômetros. Começando do quilômetro 3, temos: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58, 63, 68, 73, 78, 83 e 88.

Observando a lista de opções, vemos que todos os marcadores quilômetros, exceto o 25, aparecem na nossa lista de localizações de telefones. Portanto, o marco quilômetro que não receberá um telefone é o 25, que é a opção D).

Essa foi a solução do problema! Espero que tenha sido útil.

Para calcular a soma dos seis primeiros termos da progressão geométrica, precisamos primeiro encontrar o primeiro termo. Sabemos que o quinto termo é -81 e a razão é 3. Logo, podemos encontrar o primeiro termo utilizando a fórmula:

a₅ = a₁ × q⁴

-81 = a₁ × 3⁴

-81 = a₁ × 81

a₁ = -1

Agora que conhecemos o primeiro termo, podemos calcular a soma dos seis primeiros termos:

S₆ = a₁ × (1 - q⁶) / (1 - q)

S₆ = -1 × (1 - 3⁶) / (1 - 3)

S₆ = -1 × (1 - 729) / (-2)

S₆ = -1 × (-728) / (-2)

S₆ = 728 / 2

S₆ = 364

Portanto, a soma dos seis primeiros termos da progressão geométrica é -364.

Essa é a alternativa D).

Os salários de Ana, Bruno e Carlos formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Se Ana recebe R$ 872,00 por mês e Carlos R$ 1.250,00, Bruno tem o seguinte salário:

• A)R$ 1.143,00
• B)R$ 1.092,00
• C)R$ 1.061,00
• D)R$ 995,00
• E)R$ 984,00

Vamos resolver essa questão passo a passo. Primeiramente, precisamos entender o que significa uma progressão aritmética. Em uma progressão aritmética, cada termo é obtido adicionando uma constante ao termo anterior. Ou seja, se tivermos uma sequência de números a, a + r, a + 2r, ..., o valor de r é constante.

No nosso caso, os salários de Ana, Bruno e Carlos formam uma progressão aritmética. Portanto, podemos representá-los como a, a + r e a + 2r, respectivamente. Sabemos que o salário de Ana (a) é R$ 872,00 e o salário de Carlos (a + 2r) é R$ 1.250,00.

Agora, precisamos encontrar o valor de r. Para isso, podemos utilizar a fórmula a + 2r = 1.250,00. Substituindo o valor de a (R$ 872,00), temos:

872,00 + 2r = 1.250,00

Subtraindo 872,00 de ambos os lados da equação, obtemos:

2r = 378,00

Dividindo ambos os lados da equação por 2, obtemos:

r = 189,00

Agora que conhecemos o valor de r, podemos encontrar o salário de Bruno (a + r). Substituindo os valores, temos:

872,00 + 189,00 = 1.061,00

Portanto, o salário de Bruno é R$ 1.061,00. A alternativa correta é a C).