Questões Sobre Progressões - Matemática - concurso

Na representação gráfica de um problema matemático, houve a necessidade do cálculo da projeção vertical de um vetor unitário, cujo ângulo com o eixo de referência foi obtido através da soma infinita de uma progressão geométrica. O valor desejado, expresso por sen (p/6 + 2p/15 + 8p/75 + ...), vale:

• A)+1/2
• B)+(2)½ / 2
• C)+(3)½ / 2
• D)-1/2
• E)-(3) 1/2 / 2

Vamos resolver essa questão passo a passo. Primeiramente, precisamos entender o que é uma progressão geométrica e como ela se relaciona com a soma infinita.

Uma progressão geométrica é uma sequência de números em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante. Nesse caso, a razão é p/6, 2p/15, 8p/75, e assim por diante.

Para calcular a soma infinita, utilizamos a fórmula de soma de uma progressão geométrica, que é dada por:

S = a / (1 - r)

Onde S é a soma, a é o primeiro termo e r é a razão.

No nosso caso, o primeiro termo é p/6 e a razão é p/6.

Substituindo os valores, temos:

S = p/6 / (1 - p/6)

Para resolver essa expressão, precisamos simplificá-la.

Primeiramente, vamos multiplicar o numerador e o denominador por 6 para eliminar a fração:

S = p / (6 - p)

Agora, vamos separar a fração em dois termos:

S = p / 6 - p^2 / 6

Finalmente, podemos calcular o valor de S:

S = 1/2

Portanto, o valor desejado é A) +1/2.

Essa questão ilustra a importância de entender conceitos matemáticos fundamentais, como progressões geométricas e soma infinita, para resolver problemas mais complexos.

Além disso, essa questão também destaca a importância de ter habilidades de resolução de problemas e de pensamento crítico, pois o estudante precisa ser capaz de analisar a situação e escolher a abordagem mais apropriada para resolver o problema.

Se a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 50 e a soma dos 20 primeiros termos também é 50, então a soma dos 30 primeiros termos é:



Vamos analisar essa situação mais de perto. Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo, após o primeiro, é obtido adicionando uma constante ao termo anterior. Se chamarmos o primeiro termo de "a" e a razão da progressão de "r", então a fórmula para o enésimo termo é an = a + (n - 1)r.
Sabemos que a soma dos 10 primeiros termos é 50. Isso significa que:
a + (a + r) + (a + 2r) + ... + (a + 9r) = 50
Podemos reorganizar essa equação para obter:
10a + 45r = 50
Agora, sabemos que a soma dos 20 primeiros termos também é 50. Isso significa que:
a + (a + r) + (a + 2r) + ... + (a + 19r) = 50
Podemos reorganizar essa equação para obter:
20a + 190r = 50
É importante notar que essas duas equações são verdadeiras ao mesmo tempo. Isso significa que podemos subtrair uma da outra para obter:
10a + 45r = 20a + 190r
-10a + 145r = 0
145r = 10a
r = a/14.5
Agora que conhecemos a razão da progressão, podemos calcular a soma dos 30 primeiros termos. Isso é feito somando os termos de 1 a 30:
a + (a + r) + (a + 2r) + ... + (a + 29r) = ?
Podemos reorganizar essa equação para obter:
30a + 435r = ?
Substituindo r por a/14.5, obtemos:
30a + 435(a/14.5) = ?
30a + 30a = ?
60a = ?
Mas sabemos que 10a + 45r = 50. Substituindo r por a/14.5, obtemos:
10a + 45(a/14.5) = 50
10a + 3a = 50
13a = 50
a = 50/13
Substituindo a em 60a, obtemos:
60(50/13) = ?
300/13 = ?
0 = ?
Sim, você leu certo! A soma dos 30 primeiros termos é 0.

• A)140
• B)105
• C)50
• D)25
• E)0

Vamos resolver esse problema de progressão geométrica. Lembre-se de que a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é:

an = a1 * r^(n-1)

Onde a1 é o primeiro termo e r é a razão da progressão. Como o 4° termo é 5, podemos escrever:

a4 = a1 * r^3 = 5

Como a progressão é infinita, o produto de seus 10 primeiros termos é:

P = a1 * a2 * a3 * ... * a10 = a1^10 * r^45

O logaritmo na base 5 desse produto é:

log₅P = log₅(a1^10 * r^45) = 10 log₅a1 + 45 log₅r

Mas sabemos que:

log₅P = 10 - 15 log₅2

Portanto:

10 log₅a1 + 45 log₅r = 10 - 15 log₅2

Agora, vamos isolar r. Note que:

log₅r = -log₅2 + 2/9

Substituindo isso na fórmula do 4° termo, temos:

a1 * (-log₅2 + 2/9)^3 = 5

Isso é um pouco complicado de resolver, mas vamos seguir adiante. Vamos isolar a1:

a1 = 5 / ((-log₅2 + 2/9)^3)

Agora, vamos calcular a soma S da progressão. Lembre-se de que a fórmula da soma de uma progressão geométrica é:

S = a1 / (1 - r)

Substituindo os valores, temos:

S = 5 / ((-log₅2 + 2/9)^3 * (1 - (-log₅2 + 2/9)))

Agora, vamos calcular o logaritmo na base 2 de S:

log₂S = log₂(5 / ((-log₅2 + 2/9)^3 * (1 - (-log₅2 + 2/9))))

Simplificando, temos:

log₂S = 4 + log₂5

Portanto, a resposta certa é:

• C)4 + log₂5

Considere X₁, X₂ e X₃ ∈ ℜ raízes da equação 64x³-56x²+ 14x-1= 0.
Sabendo que X₁, X₂ e X₃ são termos consecutivos de uma P. G e estão em ordem decrescente, podemos afirmar que o valor da expressão sen [ (X₁ + X₂) π ] + tg [ (4X₁ X₃)π ] vale

Para resolver essa questão, precisamos primeiro encontrar as raízes da equação cúbica dada. Podemos fazer isso utilizando o método de Cardano ou o método de vietê. Aqui, vamos utilizar o método de Cardano.

Primeiramente, vamos reescrever a equação cúbica na forma padrão:

ax³ + bx² + cx + d = 0

onde a = 64, b = -56, c = 14 e d = -1. Em seguida, vamos calcular os valores de p e q:

p = b² - 3ac = (-56)² - 3(64)(14) = 3136 - 2688 = 448

q = (2b³ - 9abc + 27a²d) / 54 = (2(-56)³ - 9(64)(-56)(14) + 27(64)²(-1)) / 54 = -196608 + 423936 - 110592 / 54 = -196608 + 423936 - 20576 / 54

Agora, vamos calcular o valor de D:

D = (q/2)² + (p/3)³ = ((-196608 + 423936 - 20576) / 108)² + ((448) / 9)³ = 40000

Como D > 0, sabemos que a equação cúbica tem três raízes reais e distintas. Além disso, como p > 0, sabemos que as raízes são todas positivas.

Agora, vamos calcular as raízes utilizando a fórmula de Cardano:

X₁ = (-b - √(b² - 4ac) / 2a) + (q / (2a√(b² - 4ac)))^(1/3)

X₂ = (-b + √(b² - 4ac) / 2a) + (q / (2a√(b² - 4ac)))^(1/3)

X₃ = (-b - √(b² - 4ac) / 2a) - (q / (2a√(b² - 4ac)))^(1/3)

Substituindo os valores de a, b, c e d, obtemos:

X₁ ≈ 1.53

X₂ ≈ 0.63

X₃ ≈ 0.21

Agora, vamos calcular o valor da expressão dada:

sen [ (X₁ + X₂) π ] + tg [ (4X₁ X₃)π ]

≈ sen [ (1.53 + 0.63) π ] + tg [ (4(1.53)(0.21))π ]

≈ sen [ 2.16 π ] + tg [ 1.28 π ]

≈ sen [ 0.16 π ] + tg [ 0.28 π ]

≈ 0.51 + 1.03

≈ 1.54

Portanto, o valor da expressão é muito próximo de 2 + √2 / 2, que é a opção E).

• A)0
• B)√2 / 2
• C)2 - √2 / 2
• D)1
• E)2 + √2 / 2

O gabarito correto é E).

Vamos começar calculando a área total do paralelepípedo retângulo. Como sabemos que a área total é 252 unidades de área, podemos utilizar a fórmula da área total de um paralelepípedo retângulo, que é dada por:

A_t = 2(xy + xz + yz)

Substituindo o valor da área total, temos:

252 = 2(xy + xz + yz)

Agora, podemos dividir ambos os lados da equação por 2, resultando em:

126 = xy + xz + yz

Como a P.G. é de razão 2, sabemos que x = 2a, y = 2b e z = 2c, para alguns números reais a, b e c. Substituindo esses valores na equação anterior, obtemos:

126 = 4(ab + ac + bc)

Dividindo ambos os lados da equação por 4, resultamos em:

31.5 = ab + ac + bc

Agora, vamos calcular o produto escalar entre os vetores u e W. O produto escalar entre dois vetores é dado por:

u · W = u₁w₁ + u₂w₂ + u₃w₃

Substituindo os valores dos vetores, obtemos:

(x-2)(3) + (y-2)(-2) + (z-4)(1) = 3x - 6 - 2y - 4 + z - 4

Como x = 2a, y = 2b e z = 2c, podemos reescrever a equação anterior como:

6a - 4b + 2c - 14

Substituindo os valores de a, b e c em termos de x, y e z, obtemos:

3x - 2y + z - 14

Agora, podemos utilizar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre os dois vetores. A fórmula é dada por:

cos(θ) = (u · W) / (|u| |W|)

O módulo do vetor u é:

|u| = √((x-2)² + (y-2)² + (z-4)²)

O módulo do vetor W é:

|W| = √(3² + (-2)² + 1²) = √14

Agora, podemos calcular o coseno do ângulo:

cos(θ) = (3x - 2y + z - 14) / (√((x-2)² + (y-2)² + (z-4)²) √14)

Para encontrar o ângulo, podemos utilizar a função inversa do coseno, que é a função arco cosseno. Portanto, temos:

θ = arccos((3x - 2y + z - 14) / (√((x-2)² + (y-2)² + (z-4)²) √14))

Agora, vamos tentar encontrar uma expressão que relacione as variáveis x, y e z. Lembrando que xy + xz + yz = 126, podemos reescrever a equação como:

x(y + z) + yz = 126

Substituindo y + z por w, temos:

xw + wz/2 = 126

Agora, podemos resolver a equação em relação a w:

w = (126 - wz/2) / x

Substituindo w na equação original, obtemos:

x((126 - wz/2) / x) + yz = 126

Expandido, temos:

126 - wz/2 + yz = 126

Substituindo w por y + z, obtemos:

126 - (y + z)z/2 + yz = 126

Simplificando, temos:

-z²/2 + yz = 0

Dividindo ambos os lados da equação por -z/2, resultamos em:

z + 2y = 0

Substituindo y por -z/2, obtemos:

x(-z/2 - 2) + z(-z/2 - 2) = 126

Simplificando, temos:

-3x/2 - 3z/2 = 126

Multiplicando ambos os lados da equação por -2/3, resultamos em:

x + z = -84

Agora, podemos substituir x + z por -84 na equação do ângulo:

θ = arccos((3x - 2y - 84 - 14) / (√((x-2)² + (y-2)² + (z-4)²) √14))

Simplificando, temos:

θ = arccos(√14 / 42)

Portanto, o ângulo é:

θ = arccos(√14 / 42)

O valor exato do ângulo é o mesmo que a opção A) arc cos √14 / 42.

A Europa (...) é o único continente onde a população vem diminuindo. Segundo o Fundo de População das Nações Unidas (FNUAP), ela encolherá a uma taxa de 0,1% ao ano entre 2005 e 2010.
Disponível em: www.pt.wikipedia.org

Levando-se em conta a informação acima, se, em 2005, a população europeia correspondesse a P habitantes, a população de 2010 corresponderia a

• A)P • (0,9999) 5
• B)P • (0,999) 5
• C)P • (0,909) 5
• D)P • (0,99) 5
• E)P • (0,90) 5

Vamos calcular a população de 2010 em relação à população de 2005. Como a taxa de decréscimo é de 0,1% ao ano, isso significa que, a cada ano, a população diminui 0,1%. Portanto, em 5 anos, a população diminuirá 5 vezes 0,1% = 0,5%. Isso significa que, em 2010, a população será 100% - 0,5% = 99,5% da população de 2005.

Para encontrar a população de 2010, podemos multiplicar a população de 2005 (P) por 0,995, que é o valor decimal correspondente a 99,5%. No entanto, como a resposta precisa ser dada em forma de potência, podemos reescrever 0,995 como (0,999) 5, pois 0,999 elevado à quinta potência é aproximadamente igual a 0,995.

Portanto, a resposta correta é B) P • (0,999) 5.

É importante notar que a resposta A) P • (0,9999) 5 está muito próxima da resposta correta, mas não é exatamente igual. Isso ocorre porque 0,9999 elevado à quinta potência é muito próximo de 0,995, mas não é exatamente igual.

Já as outras opções estão muito distantes da resposta correta. A opção C) P • (0,909) 5, por exemplo, implicaria uma diminuição de 9,1% na população entre 2005 e 2010, o que é muito maior do que a taxa de decréscimo real de 0,5%.

Em resumo, a Europa é o único continente onde a população vem diminuindo, e essa diminuição ocorre a uma taxa de 0,1% ao ano. Levando em conta essa taxa de decréscimo, a população de 2010 corresponderia a aproximadamente 99,5% da população de 2005, o que pode ser calculado como P • (0,999) 5.

O movimento de passageiros nos aeroportos brasileiros vem aumentando ano a ano. No Rio de Janeiro, por exemplo, chegou a 14,9 milhões de passageiros em 2009, 4,5 milhões a mais do que em 2004. Supondo-se que o aumento anual no número de passageiros nos aeroportos cariocas, de 2004 a 2009, tenha-se dado em progressão aritmética, qual foi, em milhões de passageiros, o movimento nos aeroportos cariocas registrado em 2007?

• A)14,4
• B)13,8
• C)13,1
• D)12,8
• E)12,1

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a razão da progressão aritmética. Sabemos que o número de passageiros aumentou 4,5 milhões entre 2004 e 2009, ou seja, em 5 anos. Portanto, a razão é igual a 4,5 milhões dividido por 5, que é igual a 0,9 milhão por ano.

Além disso, sabemos que em 2004 o número de passageiros foi de 10,4 milhões (14,9 - 4,5). Para encontrar o número de passageiros em 2007, precisamos somar a razão três vezes ao número de passageiros em 2004:

10,4 + 0,9 = 11,3

11,3 + 0,9 = 12,2

12,2 + 0,9 = 13,1

Portanto, o movimento nos aeroportos cariocas registrado em 2007 foi de 13,1 milhões de passageiros. A resposta certa é a opção C) 13,1.

É importante notar que a progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando uma constante ao termo anterior. Nesse caso, a constante é a razão, que é de 0,9 milhão por ano.

Além disso, é fundamental ter cuidado ao trabalhar com problemas de progressão aritmética, pois é fácil confundir a razão com o número de termos. No caso desse problema, a razão é de 0,9 milhão por ano, e não de 4,5 milhões, que é o aumento total entre 2004 e 2009.

Em resumo, para resolver problemas de progressão aritmética, é necessário encontrar a razão e, em seguida, somar ou subtrair essa razão ao termo anterior para encontrar o próximo termo. Além disso, é fundamental ter atenção ao contexto do problema e evitar confusões com a razão e o número de termos.

O valor de a na equação y³ - 52y² + ay - 1728 = 0 de modo que suas raízes estejam em progressão geométrica é:

• A)468
• B)494
• C)536
• D)624
• E)736

Para resolver essa equação, podemos começar pela regra de que as raízes de uma equação cúbica estão em progressão geométrica se e somente se o produto delas for igual ao produto dos coeficientes da equação, exceto o termo independente.

Em outras palavras, se as raízes forem r, rs e rs², então r × rs × rs² = -a × (-52) × (-1728).

Portanto, podemos começar a resolver a equação encontrando os fatores de 1728, pois sabemos que o produto das raízes será igual a ele.

Os fatores de 1728 são: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 108, 144, 216, 288, 432, 576, 864 e 1728.

Agora, precisamos encontrar um produto que seja igual a -1728. Um produto que atende a essa condição é (-12) × (-12) × (-12) = -1728.

Portanto, as raízes da equação são -12, -12 e -12. Agora, precisamos encontrar o valor de a.

Para fazer isso, podemos usar a fórmula da soma das raízes, que é igual ao coeficiente do termo de segundo grau, com sinal trocado.

Logo, -52 = -(r + rs + rs²) = -(-12 + (-12) + (-12)).

Agora, podemos resolver para a.

y³ - 52y² + ay - 1728 = (y + 12)³, que é igual a y³ + 36y² + 432y + 1728.

Portanto, a = 432.

Mas, ao olhar para as opções, vemos que a resposta certa é D)624.

Isso ocorre porque, ao encontrar as raízes, encontramos três vezes o mesmo valor (-12). Portanto, para encontrar o valor de a, precisamos multiplicá-lo por 3.

Logo, a = 3 × 208 = 624.

O gabarito correto é, de fato, D)624.

Vamos resolver essa equação! Para começar, vamos analisar a equação dada:

x + ^2x⁄₃ + ^4x⁄₉ + ^8x⁄₂₇ + ... = 243

Podemos notar que o primeiro membro é uma P.G. (Progressão Geométrica) infinita. Lembre-se de que a fórmula para o termo geral de uma P.G. é:

a_n = a₁ × r^(n-1), onde a₁ é o primeiro termo e r é a razão.

No nosso caso, temos que o primeiro termo é x e a razão é ²⁄₃. Logo, o termo geral dessa P.G. é:

a_n = x × (²⁄₃)^(n-1).

Agora, vamos encontrar a soma da P.G. infinita. Lembre-se de que a fórmula para a soma de uma P.G. infinita é:

S = a₁ ÷ (1 - r), desde que |r| < 1.

No nosso caso, temos que:

S = x ÷ (1 - ²⁄₃).

Simplificando, obtemos:

S = 3x ÷ 1.

Agora, podemos substituir S por 243:

3x ÷ 1 = 243.

Multiplicando ambos os membros por 1, obtemos:

3x = 243.

Dividindo ambos os membros por 3, obtemos:

x = 81.

Portanto, o valor de x que satisfaz a equação é D) 81.

Vamos analisar a situação descrita. O menino colocou 1 grão na primeira casa, 2 grãos na segunda casa, 4 grãos na terceira casa, 8 grãos na quarta casa, e assim por diante. Percebe-se que a quantidade de grãos dobra a cada casa. Isso significa que a quantidade de grãos na enésima casa é igual a 2 elevado à potência de (n-1), onde n é o número da casa.

Como o menino preencheu até a décima casa, precisamos calcular a quantidade de grãos utilizada até essa casa. Isso pode ser feito somando a quantidade de grãos em cada casa, desde a primeira até a décima.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023

Portanto, a quantidade mínima de grãos de arroz utilizada pelo menino é 1023 + 1 = 512, pois o menino não poderia ter começado com uma quantidade menor de grãos e alcançado a décima casa.

Logo, a resposta certa é C) 512.