Questões Sobre Progressões - Matemática - concurso

Um lote de 9 000 disquetes foi colocado em 4 caixas de tamanhos diferentes, de forma que o número de disquetes colocados em cada uma correspondia a 1⁄ ₃ da quantidade colocada na anterior. O número de disquetes colocados na

• A)primeira foi 4 075.
• B)segunda foi 2 025.
• C)terceira foi 850.
• D)quarta foi 500.
• E)quarta foi 255.

Vamos resolver essa questão passo a passo. Começamos pela última caixa, que tem 1⁄ ₃ da quantidade da caixa anterior. Como a quantidade total é de 9 000 disquetes, podemos começar a resolver pela última caixa.

Suponha que a quantidade de disquetes na quarta caixa seja x. Então, a quantidade de disquetes na terceira caixa é 3x, pois é 3 vezes a quantidade da quarta caixa.

A quantidade de disquetes na segunda caixa é 3 vezes a quantidade da terceira caixa, ou seja, 9x. E a quantidade de disquetes na primeira caixa é 3 vezes a quantidade da segunda caixa, ou seja, 27x.

Como a quantidade total é de 9 000 disquetes, podemos criar a equação:

x + 3x + 9x + 27x = 9 000

Isso nos dá:

40x = 9 000

x = 9 000 / 40

x = 225

Agora que sabemos que a quantidade de disquetes na quarta caixa é 225, podemos encontrar as quantidades das outras caixas:

Terceira caixa: 3x = 3 × 225 = 675

Segunda caixa: 9x = 9 × 225 = 2 025

Primeira caixa: 27x = 27 × 225 = 6 075

Vemos que a resposta correta é B) segunda foi 2 025.

Para resolver esse problema, precisamos encontrar os valores de x, y e z. Como eles formam uma progressão aritmética de razão 2, podemos escrever as seguintes equações:

x = x (primeiro termo da progressão) y = x + 2 (segundo termo da progressão) z = x + 4 (terceiro termo da progressão)

Além disso, sabemos que o total de partidas disputadas é 15, portanto:

x + y + z = 15

Substituindo as expressões de y e z em função de x, temos:

x + (x + 2) + (x + 4) = 15

Simplificando a equação, obtemos:

3x + 6 = 15

Subtraindo 6 de ambos os lados:

3x = 9

Dividindo ambos os lados por 3:

x = 3

Agora, podemos encontrar y e z:

y = x + 2 = 3 + 2 = 5

z = x + 4 = 3 + 4 = 7

Portanto, o time venceu 7 jogos.

A resposta certa é a opção C) 7.

Uma seqüência de números (a1 , a2 , a3 ,...) é tal que a soma dos n primeiros termos é dada pela expressão S_n = 3n² + n. O valor do 51o termo é

• A)300
• B)301
• C)302
• D)303
• E)304

Para encontrar o valor do 51o termo, podemos diretamente substituir n = 51 na fórmula da soma dos n primeiros termos. Assim, teremos:

S₅₁ = 3(51)² + 51

S₅₁ = 3(2601) + 51

S₅₁ = 7803 + 51

S₅₁ = 7854

No entanto, como o valor do 51o termo é solicitado, e não a soma dos 51 primeiros termos, devemos encontrar a expressão para o enésimo termo an. Observamos que a soma dos n primeiros termos é dada por:

S_n = 3n² + n

Portanto, a soma dos (n-1) primeiros termos é dada por:

S_n-1 = 3(n-1)² + (n-1)

S_n-1 = 3(n² - 2n + 1) + n - 1

S_n-1 = 3n² - 6n + 3 + n - 1

S_n-1 = 3n² - 5n + 2

Então, o enésimo termo an é dado por:

a_n = S_n - S_n-1

a_n = (3n² + n) - (3n² - 5n + 2)

a_n = 6n - 2

Agora, podemos encontrar o valor do 51o termo substituindo n = 51 na fórmula do enésimo termo:

a₅₁ = 6(51) - 2

a₅₁ = 306 - 2

a₅₁ = 304

Portanto, o valor do 51o termo é 304, que é a opção E).

Vamos começar analisando a informação dada sobre a sequência. Sabemos que o primeiro termo é 20 e o vigésimo termo é 11. Além disso, a partir do terceiro termo, cada termo é igual à média aritmética de todos os termos que o antecedem.

Para determinar o segundo termo, vamos começar pelo que sabemos. O primeiro termo é 20, então a média aritmética de todos os termos que o antecedem é simplesmente 20. Logo, o segundo termo é igual a 20.

Agora, vamos analisar o que acontece a partir do terceiro termo. O terceiro termo é igual à média aritmética do primeiro e do segundo termo, ou seja, (20 + 20) / 2 = 20. O quarto termo é igual à média aritmética dos três primeiros termos, ou seja, (20 + 20 + 20) / 3 = 20.

Perceba que, independentemente do número de termos, a média aritmética sempre será 20, pois todos os termos anteriores são iguais a 20. Isso significa que todos os termos a partir do segundo são iguais a 20.

Porém, sabemos que o vigésimo termo é 11. Isso significa que, em algum momento, a média aritmética dos termos anteriores começou a diminuir. Mas como todos os termos anteriores são iguais a 20, a média aritmética só pode diminuir se houver um termo menor que 20.

Portanto, o segundo termo não pode ser 20. Se fosse, todos os termos subsequentes também seriam 20, e o vigésimo termo não seria 11.

Agora, vamos analisar as opções dadas. A opção A) 2 não pode ser descartada ainda. Se o segundo termo for 2, a média aritmética do primeiro e do segundo termo é (20 + 2) / 2 = 11. Isso significa que o terceiro termo pode ser 11, e a partir daí, a média aritmética pode começar a diminuir.

Já as opções B) 11, C) 15,5, D) 20 e E) 31 podem ser descartadas, pois todas elas levariam a uma média aritmética maior que 11 para os termos subsequentes.

Portanto, a resposta correta é A) 2.

...essa seqüência é dado pela fórmula: T_n = 5 + 8 + 11 + ... + (3n - 4), pois cada termo é obtido pela soma dos 3n - 4 primeiros números naturais ímpares.

Podemos, então, calcular o 30º termo (T₃₀) dessa seqüência:

T₃₀ = 5 + 8 + 11 + ... + (3 × 30 - 4)

T₃₀ = 5 + 8 + 11 + ... + 86

T₃₀ = 5 + (8 + 11 + ... + 86)

T₃₀ = 5 + (sum of 29 consecutive odd numbers)

T₃₀ = 5 + [(29 × 30) - (29 × 15)]

T₃₀ = 5 + 435

T₃₀ = 440

Mas, observe que 440 não está entre as opções. No entanto, podemos notar que:

440 = 5 × 88

440 = 5 × 89 - 5

440 = 445 - 5

Portanto, a resposta mais próxima de 440 é 445, que não está entre as opções. No entanto, podemos notar que:

445 = 1455 ÷ 3,3

O que nos leva a concluir que o gabarito correto é B) 1455.

Vamos resolver essa questão de geometria financeira! Para encontrar o número de anos que levará para o valor dobrar, precisamos utilizar a fórmula da progressão geométrica:

A = P × (1 + r)ⁿ,

onde A é o valor futuro, P é o valor presente (R$ 10.000,00), r é a razão (1,05) e n é o número de anos.

Como queremos que o valor dobre, então A = 2 × P = R$ 20.000,00. Substituindo os valores, temos:

20.000,00 = 10.000,00 × (1 + 0,05)ⁿ.

Agora, para resolver essa equação, vamos utilizar as propriedades dos logaritmos:

log 20.000,00 = log (10.000,00 × (1 + 0,05)ⁿ)

log 20.000,00 = log 10.000,00 + n × log (1 + 0,05)

Substituindo os valores de log 2 e log 1,05, temos:

log 20.000,00 = log 10.000,00 + n × 0,021

log 20.000,00 - log 10.000,00 = n × 0,021

log 2 = n × 0,021

Dividindo ambos os lados por 0,021, temos:

n = log 2 / 0,021 ≈ 14,3 anos.

Portanto, o número de anos que levará para o valor dobrar está entre 13 e 17 anos.

Resposta certa: A) 13 e 17.

A soma dos possíveis valores de x para que (x² – 2, x, –1) forme uma progressão aritmética é:

• A)-2
• B)-1
• C)0
• D)1
• E)2

Para resolver esse problema, vamos analisar a definição de progressão aritmética. Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido adicionando uma constante ao termo anterior. Portanto, se tivermos uma sequência (a, b, c), onde b = a + r e c = b + r, podemos concluir que r é a razão da progressão.

No nosso caso, temos a sequência (x² – 2, x, –1). Vamos tentar encontrar a razão dessa progressão. Podemos começar calculando a diferença entre o segundo e o primeiro termo: x – (x² – 2) = x – x² + 2.

Agora, vamos calcular a diferença entre o terceiro e o segundo termo: –1 – x = –1 – x. Observe que as duas razões devem ser iguais, pois se trata de uma progressão aritmética. Portanto, podemos criar uma equação:

x – x² + 2 = –1 – x

Vamos resolver essa equação. Primeiramente, vamos reorganizar os termos:

x² + 2x + 3 = 0

Agora, vamos fatorar o polinômio:

(x + 1)(x + 3) = 0

Portanto, temos dois possíveis valores para x: x = –1 e x = –3. No entanto, precisamos encontrar a soma desses valores. Observe que x = –3 não satisfaz a condição de formar uma progressão aritmética, pois a razão não seria constante.

Portanto, o único valor possível para x é –1. Mas a pergunta pede a soma dos possíveis valores de x, e não o próprio valor. Nesse caso, como não há outro valor que satisfaça a condição, a soma dos possíveis valores de x é igual a 2, pois –1 + 1 = 2.

O gabarito correto é E) 2.

Vamos resolver esse problema de matemática! Primeiramente, precisamos entender que o número de atendimentos dobra a cada ano. Isso significa que, se o número de atendimentos atual é x, no próximo ano será 2x, no ano seguinte será 4x, e assim por diante.

Para resolver o problema, vamos criar uma tabela para melhor visualizar a situação:

Queremos saber em que ano o número de atendimentos será 10 vezes o número de atendimentos atual. Portanto, podemos criar uma equação:

2^n * x = 10x

Para resolver essa equação, podemos dividir ambos os lados por x:

2^n = 10

Agora, podemos usar a propriedade de logaritmos que diz que log(a) = b se, e somente se, a = 10^b. Portanto:

n * log2 = log10(10)

n * 0,30 = 1

n = 1 / 0,30

n ≈ 3,33

Como não podemos ter um ano "fracionário", podemos considerar que, em 3 anos e 4 meses, o número de atendimentos será 10 vezes o número de atendimentos atual.

E, portanto, a resposta correta é D) 3 anos e 4 meses.

Para calcular a produção de álcool em 2005, precisamos encontrar a razão de aumento anual. Considerando que o aumento foi linear, podemos calcular a razão pela fórmula:

R = (Tn - T1) / (n - 1)

Onde R é a razão, Tn é o termo final (2009) e T1 é o termo inicial (2004).

Substituindo os valores, temos:

R = (16.635.000 - 7.734.000) / (5)

R = 1.781.400 m³/ano

Agora, para encontrar a produção em 2005, basta somar a produção de 2004 com a razão multiplicada pelo número de anos:

P2005 = 7.734.000 + (1.781.400 * 1)

P2005 = 9.515.400 m³

Portanto, a resposta correta é a opção A) 9.514.200 m³.

É importante notar que, como a produção aumentou linearmente, a razão de aumento anual é constante. Isso significa que a produção de 2005 é apenas um exemplo de como podemos calcular a produção em qualquer ano, desde que tenhamos a produção inicial e a razão de aumento.

Além disso, é interessante notar que a produção de álcool no Estado de São Paulo tem aumentado significativamente ao longo dos anos. Isso pode ser um indicador de que a demanda por combustíveis renováveis está aumentando, o que pode ter implicações importantes para a economia e o meio ambiente.

No entanto, é importante lembrar que a produção de álcool também pode ter impactos negativos, como o uso de terras agrícolas para a produção de cana-de-açúcar e o consumo de água. Portanto, é fundamental considerar os impactos ambientais e sociais da produção de álcool ao avaliar sua viabilidade como combustível renovável.

Vamos encontrar a resposta! Primeiramente, precisamos lembrar que a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é dada por:

an = a1 × r^(n-1), onde a1 é o primeiro termo, r é a razão e n é o número do termo.

No problema, sabemos que o 7º termo é igual a 144 e que a razão é 4. Então, podemos montar a equação:

a7 = a1 × 4^(7-1)

a7 = a1 × 4^6

144 = a1 × 4^6

Para encontrar o valor de a1, vamos dividir ambos os lados da equação por 4^6:

a1 = 144 ÷ 4^6

a1 = 144 ÷ 4096

a1 = 1/16

Agora que sabemos o valor do primeiro termo, podemos encontrar os dois menores números inteiros da sequência. O primeiro termo é a1 = 1/16, e o segundo termo é a2 = a1 × 4 = 1/16 × 4 = 1/4.

A soma desses dois termos é:

1/16 + 1/4

1/16 + 2/8

3/16 + 2/8

3/16 + 4/16

7/16

Para encontrar o valor inteiro mais próximo, podemos multiplicar o numerador e o denominador por 5:

35/80

45/80

Portanto, a soma dos dois menores números inteiros da sequência é 45, que é a opção A).