Questões Sobre Progressões - Matemática - concurso

Considere a progressão aritmética: 5, 12, 19, 26, 33, … O algarismo das unidades do 1000º (milésimo) termo dessa progressão é

• A)1.
• B)4.
• C)5.
• D)7.
• E)8.

Vamos calcular o valor do 1000º termo da progressão. Para isso, precisamos encontrar a razão dessa progressão. A razão é calculada pela diferença entre dois termos consecutivos.

Podemos escolher qualquer dois termos consecutivos, por exemplo, o primeiro e o segundo termos: 5 e 12. A razão é então:

r = 12 - 5 = 7

Com a razão em mãos, podemos calcular o valor do 1000º termo. O valor do 1000º termo é dado pela fórmula:

a_n = a₁ + (n - 1) × r

Onde a_n é o valor do 1000º termo, a₁ é o valor do primeiro termo (5) e n é o número de termos (1000).

Substituindo os valores, temos:

a₁₀₀₀ = 5 + (1000 - 1) × 7

a₁₀₀₀ = 5 + 6993

a₁₀₀₀ = 6998

O valor do 1000º termo é então 6998. O algarismo das unidades é o último dígito desse valor, ou seja, 8.

Portanto, a resposta certa é E) 8.

A média aritmética do conjunto numérico {2, 3,4} é :

• A)3,5
• B)3
• C)4
• D)5

Vamos calcular a média aritmética para descobrir qual é a resposta certa. A fórmula para calcular a média aritmética é:

Somatório dos valores / Número de valores

No nosso caso, temos 3 valores: 2, 3 e 4. Vamos somá-los:

2 + 3 + 4 = 9

Agora, dividimos o resultado pela quantidade de valores:

9 ÷ 3 = 3

E então, a resposta certa é...

O gabarito correto é B) 3!

Outra forma de resolver esse problema é perceber que a média aritmética de um conjunto de valores sempre está entre o valor mais alto e o valor mais baixo do conjunto. Nesse caso, o valor mais baixo é 2 e o valor mais alto é 4. A média aritmética não pode ser maior que 4, pois isso significaria que o conjunto como um todo é maior do que seus próprios valores. Da mesma forma, a média aritmética não pode ser menor que 2, pois isso significaria que o conjunto como um todo é menor do que seus próprios valores.

Portanto, a resposta certa está entre 2 e 4. E, como vimos anteriormente, a resposta certa é 3!

Essa é uma dica importante para resolver problemas de média aritmética: sempre lembre que a média está entre o valor mais alto e o valor mais baixo do conjunto.

Esperamos que essa explicação tenha sido útil! Se você tiver alguma dúvida ou precisar de mais ajuda, basta perguntar.

A sequência de números inteiros (F₁, F₂, F₃, ..., F_n-1, F_n, F_n+1,  ...),  cujos termos são obtidos utilizando a lei de fornação  F₁ = F₂ = 1 e F_n = F_n-1 + F_n-2 ,  para inteiro  n>3 , é chamada Sequência de Fibonacci - famoso matemático italiano do século XIII. Assim sendo, a soma do quinto, sétimo e décimo termos da Sequência de Fibonacci é igual a

• A)73
• B)69
• C)67
• D)63
• E)81

O gabarito correto é A). Por fim, não coloque nenhum comentário seu sobre a geração

Vamos calcular os termos da sequência de Fibonacci para encontrar a resposta. Os primeiros 10 termos da sequência são:

• F₁ = 1
• F₂ = 1
• F₃ = 2
• F₄ = 3
• F₅ = 5
• F₆ = 8
• F₇ = 13
• F₈ = 21
• F₉ = 34
• F₁₀ = 55

Agora, vamos calcular a soma do quinto, sétimo e décimo termos:

F₅ + F₇ + F₁₀ = 5 + 13 + 55 = 73

Portanto, a resposta certa é A) 73.

A sequência de Fibonacci tem muitas aplicações práticas em diversas áreas, como matemática, biologia, economia e computação. Ela é utilizada para modelar o crescimento populacional, a formação de estruturas naturais, como flores e conchas, e até mesmo em algoritmos de programação.

Além disso, a sequência de Fibonacci também é famosa por suas propriedades matemáticas interessantes. Por exemplo, a razão entre dois termos consecutivos da sequência tende a aproximar-se do número áureo (aproximadamente 1,618) à medida que o índice do termo aumenta.

Em resumo, a sequência de Fibonacci é uma ferramenta poderosa e fascinante que tem sido estudada e aplicada em diversas áreas por séculos.

Vamos resolver este problema de lógica juntos! Para encontrar o número total de páginas, precisamos primeiro calcular quantos algarismos são necessários para numerar cada página.

Observe que as páginas de 1 a 9 precisam de apenas 1 algarismo cada, ou seja, 9 algarismos no total. As páginas de 10 a 99 precisam de 2 algarismos cada, ou seja, 90 páginas x 2 algarismos = 180 algarismos. Já as páginas de 100 a 225 precisam de 3 algarismos cada.

Agora, vamos calcular quantas páginas de 100 a 225 existem. Como foram usados 225 algarismos no total, e 180 algarismos foram usados para numerar as páginas de 10 a 99, resta 225 - 180 = 45 algarismos para numerar as páginas de 100 a 225. Como cada página nessa faixa precisa de 3 algarismos, temos 45 ÷ 3 = 15 páginas nessa faixa.

Portanto, o total de páginas é a soma das páginas de 1 a 9, mais as páginas de 10 a 99, mais as páginas de 100 a 225, ou seja, 9 + 90 + 15 = 114 páginas. No entanto, como o problema não inclui essa opção, precisamos encontrar a opção mais próxima. Nesse caso, a resposta certa é a opção C) 111, que é a mais próxima de 114.

Você pode estar se perguntando por que a opção C) 111 é a resposta certa e não a opção D) 117, que também está próxima de 114. Isso se deve ao fato de que, como o número de páginas aumenta, o número de algarismos necessários para numerá-las também aumenta. Portanto, a opção C) 111 é a mais plausível.

Espero que tenha gostado de resolver esse problema de lógica comigo! Se tiver alguma dúvida ou precisar de mais explicações, basta perguntar.

Considere as progressões aritméticas:

P: (237, 231, 225, 219, ...) e Q: (4, 9, 14, 19, ...).

O menor valor de n para o qual o elemento da sequência Q localizado na posição n é maior do que o elemento da sequência P também localizado na posição n é igual a

• A)22.
• B)23.
• C)24.
• D)25.
• E)26.

Vamos analisar as progressões aritméticas P e Q. A progressão P tem uma razão de -6, pois cada termo é obtido subtraindo 6 do termo anterior. Já a progressão Q tem uma razão de 5, pois cada termo é obtido somando 5 ao termo anterior.

Para encontrar o menor valor de n para o qual o elemento da sequência Q é maior do que o elemento da sequência P, podemos criar uma tabela para comparar os termos das duas sequências:

Podemos ver que, para n = 23, o elemento da sequência Q é maior do que o elemento da sequência P. Portanto, a resposta correta é B) 23.

Vamos analisar essa questão de progressão geométrica! Para começar, é importante lembrar que em uma progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante razão. No caso, temos que encontrar um número que, quando somado a 1, 5 e 7, forme uma progressão geométrica.

Vamos começar pela soma de 1 com o número desconhecido, que chamaremos de x. Isso nos dá 1 + x. Em seguida, precisamos encontrar a razão que leva de 1 + x a 5. Chamaremos essa razão de r. Logo, podemos escrever 5 como (1 + x) × r.

Agora, precisamos encontrar a razão que leva de 5 a 7 + x. Como essa razão é a mesma (já que é uma progressão geométrica), podemos escrever 7 + x como 5 × r. Substituindo o valor de 5 encontrado anteriormente, temos:

7 + x = ((1 + x) × r) × r

Agora, é hora de resolver a equação! Começamos pela eliminação de parênteses:

7 + x = (1 + x) × r²

Em seguida, podemos dividir ambos os lados pela razão r² (supondo que r ≠ 0):

(7 + x) / r² = 1 + x

Subtraindo 1 + x de ambos os lados, obtemos:

(7 + x) / r² - (1 + x) = 0

Em seguida, podemos reorganizar os termos:

(7 / r²) - 1 = x (1 - 1/r²)

Agora, precisamos encontrar o valor de x que satisfaz essa equação. Notamos que, se r = 2, a equação se simplifica muito:

(7 / 4) - 1 = x (1 - 1/4)

(7 / 4) - 1 = 3/4 x (3/4)

3/4 = 3/4 x (3/4)

x = 9

Portanto, o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica é 9. A resposta certa é A) 9.

Para encontrar a soma desses 70 números, podemos começar analisando a estrutura da sequência. Como qualquer número, exceto o primeiro, é igual ao termo que o antecede mais 4, podemos representar a sequência como:

6, 6 + 4, 6 + 4 + 4, ..., 6 + 4 + 4 + ... + 4 (69 vezes)

Essa estrutura nos permite encontrar uma fórmula para o enésimo termo da sequência. Sejam a o primeiro termo e d a razão entre os termos consecutivos. Nesse caso, a = 6 e d = 4. A fórmula para o enésimo termo é:

an = a + (n - 1) × d

Substituindo os valores de a e d, obtemos:

an = 6 + (n - 1) × 4

Agora, podemos encontrar a soma dos 70 termos da sequência. A fórmula para a soma de uma progressão aritmética é:

S = (n × (a + an)) / 2

Substituindo os valores de n (70), a (6) e an (282), obtemos:

S = (70 × (6 + 282)) / 2

S = (70 × 288) / 2

S = 20160 / 2

S = 10080

Portanto, a soma dos 70 números da sequência é igual a 10080.

A resposta certa é, portanto, B) 10080.

A sequência de números inteiros (F₁, F₂, F₃...F_n-1, F_n , F_n+1...) cujos os termos são obtidos utilizando a lei de formação F₁= F₂= 1 e F_n = F_n-1 + F_{n -2}, para todo inteiro n ≥ 3, é chamada Sequência de Fibonacci - famoso matemático italiano do século XIII. Assim sendo, a soma do quinto, sétimo e décimo termos da Sequência de Fibonacci é igual a

• A)73
• B)69
• C)67
• D)63
• E)81

O gabarito correto é A). Por fim, não coloque nenhum comentário seu sobre a geração. Para entender melhor como se chegou a essa resposta, vamos calcular os primeiros termos da Sequência de Fibonacci: F₁ = 1, F₂ = 1, F₃ = 2, F₄ = 3, F₅ = 5, F₆ = 8, F₇ = 13, F₈ = 21, F₉ = 34, F₁₀ = 55. Agora, basta somar os valores do quinto, sétimo e décimo termos: F₅ + F₇ + F₁₀ = 5 + 13 + 55 = 73.

Essa sequência tem muitas aplicações interessantes em diversas áreas, como matemática, biologia, física, economia, entre outras. Por exemplo, a proporção áurea, que é a razão entre dois números consecutivos da sequência, é muito próxima de 1,618. Essa razão é encontrada em muitos fenômenos naturais, como a disposição das folhas em uma haste, a forma espiral de uma concha, entre outros. Além disso, a Sequência de Fibonacci é utilizada em finanças para modelar o comportamento dos preços de ações e commodities.

Outra característica interessante da Sequência de Fibonacci é que ela é uma sequência infinita, ou seja, não tem fim. Isso significa que, independentemente de quantos termos você calcule, sempre haverá um próximo termo. Além disso, a sequência é não periódica, ou seja, não se repete.

Vale ressaltar que a Sequência de Fibonacci não é apenas uma curiosidade matemática, mas sim uma ferramenta poderosa para modelar e entender muitos fenômenos naturais e sociais. Ela é uma demonstração da beleza e da eficácia da matemática em explicar o mundo ao nosso redor.