Pedro possui três parentes, João, José e Maria, cujas idades formam uma progressão geométrica. João é o mais novo, e Maria é a mais velha. Se o produto das idades dos três parentes de Pedro é 1.728, qual é a idade de José?

Vamos resolver este problema! Primeiramente, é importante lembrar que uma progressão geométrica é uma sequência de números em que cada termo, após o primeiro, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Em outras palavras, se tivermos uma progressão geométrica a, ar, ar², ..., em que 'a' é o primeiro termo e 'r' é a razão, então o produto de todos os termos é igual a a × ar × ar² × ... = aⁿ × rⁿ(n-1)/2, em que 'n' é o número de termos.

No nosso caso, sabemos que o produto das idades dos três parentes de Pedro é igual a 1.728, ou seja, a³ = 1.728, em que 'a' é a idade de João e 'r' é a razão da progressão geométrica. Além disso, sabemos que Maria é a mais velha, portanto, a razão 'r' deve ser maior que 1.

Agora, vamos encontrar a idade de João. Para isso, vamos calcular a raiz cúbica de 1.728, que é igual a 12. Logo, a idade de João é 12 anos. Agora, vamos encontrar a razão 'r'. Se a idade de João é 12 anos, a idade de José é 12 × r e a idade de Maria é 12 × r².

Como o produto das idades é igual a 1.728, podemos montar a equação 12 × 12r × 12r² = 1.728, que nos permite calcular o valor de 'r'. Dividindo ambos os lados da equação por 12, obtemos r³ = 1.728/144 = 12, portanto, r = √3.

Finalmente, podemos calcular a idade de José: 12 × r = 12 × √3 = 12 × 1.732 = 20.928 ≈ 21. Como José não pode ter uma idade fracionária, podemos arredondar para 21 anos. No entanto, como 21 anos não é uma das opções, devemos verificar se há outro valor que satisfaça as condições do problema.

Se r = 1, então a idade de José é 12, que é uma das opções. Portanto, a resposta correta é E) 12 anos.

• A)64 anos
• B)48 anos
• C)24 anos
• D)21 anos
• E)12 anos