Qual é o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica?

Vamos analisar essa questão de progressão geométrica! Para começar, é importante lembrar que em uma progressão geométrica, cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante razão. No caso, temos que encontrar um número que, quando somado a 1, 5 e 7, forme uma progressão geométrica.

Vamos começar pela soma de 1 com o número desconhecido, que chamaremos de x. Isso nos dá 1 + x. Em seguida, precisamos encontrar a razão que leva de 1 + x a 5. Chamaremos essa razão de r. Logo, podemos escrever 5 como (1 + x) × r.

Agora, precisamos encontrar a razão que leva de 5 a 7 + x. Como essa razão é a mesma (já que é uma progressão geométrica), podemos escrever 7 + x como 5 × r. Substituindo o valor de 5 encontrado anteriormente, temos:

7 + x = ((1 + x) × r) × r

Agora, é hora de resolver a equação! Começamos pela eliminação de parênteses:

7 + x = (1 + x) × r²

Em seguida, podemos dividir ambos os lados pela razão r² (supondo que r ≠ 0):

(7 + x) / r² = 1 + x

Subtraindo 1 + x de ambos os lados, obtemos:

(7 + x) / r² - (1 + x) = 0

Em seguida, podemos reorganizar os termos:

(7 / r²) - 1 = x (1 - 1/r²)

Agora, precisamos encontrar o valor de x que satisfaz essa equação. Notamos que, se r = 2, a equação se simplifica muito:

(7 / 4) - 1 = x (1 - 1/4)

(7 / 4) - 1 = 3/4 x (3/4)

3/4 = 3/4 x (3/4)

x = 9

Portanto, o número que deve ser somado aos números 1, 5 e 7 para que os resultados dessas somas, nessa ordem, formem três termos de uma progressão geométrica é 9. A resposta certa é A) 9.