Se a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 50 e a soma dos 20 primeiros termos também é 50, então a soma dos 30 primeiros termos é:

Se a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 50 e a soma dos 20 primeiros termos também é 50, então a soma dos 30 primeiros termos é:



Vamos analisar essa situação mais de perto. Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo, após o primeiro, é obtido adicionando uma constante ao termo anterior. Se chamarmos o primeiro termo de "a" e a razão da progressão de "r", então a fórmula para o enésimo termo é an = a + (n - 1)r.
Sabemos que a soma dos 10 primeiros termos é 50. Isso significa que:
a + (a + r) + (a + 2r) + ... + (a + 9r) = 50
Podemos reorganizar essa equação para obter:
10a + 45r = 50
Agora, sabemos que a soma dos 20 primeiros termos também é 50. Isso significa que:
a + (a + r) + (a + 2r) + ... + (a + 19r) = 50
Podemos reorganizar essa equação para obter:
20a + 190r = 50
É importante notar que essas duas equações são verdadeiras ao mesmo tempo. Isso significa que podemos subtrair uma da outra para obter:
10a + 45r = 20a + 190r
-10a + 145r = 0
145r = 10a
r = a/14.5
Agora que conhecemos a razão da progressão, podemos calcular a soma dos 30 primeiros termos. Isso é feito somando os termos de 1 a 30:
a + (a + r) + (a + 2r) + ... + (a + 29r) = ?
Podemos reorganizar essa equação para obter:
30a + 435r = ?
Substituindo r por a/14.5, obtemos:
30a + 435(a/14.5) = ?
30a + 30a = ?
60a = ?
Mas sabemos que 10a + 45r = 50. Substituindo r por a/14.5, obtemos:
10a + 45(a/14.5) = 50
10a + 3a = 50
13a = 50
a = 50/13
Substituindo a em 60a, obtemos:
60(50/13) = ?
300/13 = ?
0 = ?
Sim, você leu certo! A soma dos 30 primeiros termos é 0.

• A)140
• B)105
• C)50
• D)25
• E)0