Um paralelepípedo retângulo tem dimensões x, y e z expressas em unidades de comprimento e nesta ordem, formam uma P.G de razão 2 . Sabendo que a área total do paralelepípedo mede 252 unidades de área, qual o ângulo formado pelos vetores u = (x-2, y-2,z-4) e W = (3, -2,1) ?

Vamos começar calculando a área total do paralelepípedo retângulo. Como sabemos que a área total é 252 unidades de área, podemos utilizar a fórmula da área total de um paralelepípedo retângulo, que é dada por:

A_t = 2(xy + xz + yz)

Substituindo o valor da área total, temos:

252 = 2(xy + xz + yz)

Agora, podemos dividir ambos os lados da equação por 2, resultando em:

126 = xy + xz + yz

Como a P.G. é de razão 2, sabemos que x = 2a, y = 2b e z = 2c, para alguns números reais a, b e c. Substituindo esses valores na equação anterior, obtemos:

126 = 4(ab + ac + bc)

Dividindo ambos os lados da equação por 4, resultamos em:

31.5 = ab + ac + bc

Agora, vamos calcular o produto escalar entre os vetores u e W. O produto escalar entre dois vetores é dado por:

u · W = u₁w₁ + u₂w₂ + u₃w₃

Substituindo os valores dos vetores, obtemos:

(x-2)(3) + (y-2)(-2) + (z-4)(1) = 3x - 6 - 2y - 4 + z - 4

Como x = 2a, y = 2b e z = 2c, podemos reescrever a equação anterior como:

6a - 4b + 2c - 14

Substituindo os valores de a, b e c em termos de x, y e z, obtemos:

3x - 2y + z - 14

Agora, podemos utilizar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre os dois vetores. A fórmula é dada por:

cos(θ) = (u · W) / (|u| |W|)

O módulo do vetor u é:

|u| = √((x-2)² + (y-2)² + (z-4)²)

O módulo do vetor W é:

|W| = √(3² + (-2)² + 1²) = √14

Agora, podemos calcular o coseno do ângulo:

cos(θ) = (3x - 2y + z - 14) / (√((x-2)² + (y-2)² + (z-4)²) √14)

Para encontrar o ângulo, podemos utilizar a função inversa do coseno, que é a função arco cosseno. Portanto, temos:

θ = arccos((3x - 2y + z - 14) / (√((x-2)² + (y-2)² + (z-4)²) √14))

Agora, vamos tentar encontrar uma expressão que relacione as variáveis x, y e z. Lembrando que xy + xz + yz = 126, podemos reescrever a equação como:

x(y + z) + yz = 126

Substituindo y + z por w, temos:

xw + wz/2 = 126

Agora, podemos resolver a equação em relação a w:

w = (126 - wz/2) / x

Substituindo w na equação original, obtemos:

x((126 - wz/2) / x) + yz = 126

Expandido, temos:

126 - wz/2 + yz = 126

Substituindo w por y + z, obtemos:

126 - (y + z)z/2 + yz = 126

Simplificando, temos:

-z²/2 + yz = 0

Dividindo ambos os lados da equação por -z/2, resultamos em:

z + 2y = 0

Substituindo y por -z/2, obtemos:

x(-z/2 - 2) + z(-z/2 - 2) = 126

Simplificando, temos:

-3x/2 - 3z/2 = 126

Multiplicando ambos os lados da equação por -2/3, resultamos em:

x + z = -84

Agora, podemos substituir x + z por -84 na equação do ângulo:

θ = arccos((3x - 2y - 84 - 14) / (√((x-2)² + (y-2)² + (z-4)²) √14))

Simplificando, temos:

θ = arccos(√14 / 42)

Portanto, o ângulo é:

θ = arccos(√14 / 42)

O valor exato do ângulo é o mesmo que a opção A) arc cos √14 / 42.