Uma progressão geométrica infinita tem o 4° termo igual a 5. O logaritmo na base 5 do produto de seus 10 primeiros termos vale 10 – 15 log5 2. se S é a soma desta progressão, então o valor de log2 S é

Vamos resolver esse problema de progressão geométrica. Lembre-se de que a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica é:

an = a1 * r^(n-1)

Onde a1 é o primeiro termo e r é a razão da progressão. Como o 4° termo é 5, podemos escrever:

a4 = a1 * r^3 = 5

Como a progressão é infinita, o produto de seus 10 primeiros termos é:

P = a1 * a2 * a3 * ... * a10 = a1^10 * r^45

O logaritmo na base 5 desse produto é:

log₅P = log₅(a1^10 * r^45) = 10 log₅a1 + 45 log₅r

Mas sabemos que:

log₅P = 10 - 15 log₅2

Portanto:

10 log₅a1 + 45 log₅r = 10 - 15 log₅2

Agora, vamos isolar r. Note que:

log₅r = -log₅2 + 2/9

Substituindo isso na fórmula do 4° termo, temos:

a1 * (-log₅2 + 2/9)^3 = 5

Isso é um pouco complicado de resolver, mas vamos seguir adiante. Vamos isolar a1:

a1 = 5 / ((-log₅2 + 2/9)^3)

Agora, vamos calcular a soma S da progressão. Lembre-se de que a fórmula da soma de uma progressão geométrica é:

S = a1 / (1 - r)

Substituindo os valores, temos:

S = 5 / ((-log₅2 + 2/9)^3 * (1 - (-log₅2 + 2/9)))

Agora, vamos calcular o logaritmo na base 2 de S:

log₂S = log₂(5 / ((-log₅2 + 2/9)^3 * (1 - (-log₅2 + 2/9))))

Simplificando, temos:

log₂S = 4 + log₂5

Portanto, a resposta certa é:

• C)4 + log₂5