Uma sequência de números k1 , k2 , k3 , k4 ,….,kn é denominada Progressão Geométrica – PG – de n termos quando, a partir do segundo termo, cada termo dividido pelo imediatamente anterior for igual a uma constante r denominada razão. Sabe-se que, adicionando uma constante x a cada um dos termos da sequência (p – 2); p; e (p + 3) ter-se-á uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos da PG são, respectivamente, iguais a

Vamos analisar a situação: temos uma sequência de números k₁, k₂, k₃, k₄, ..., k_n que forma uma Progressão Geométrica (PG) de n termos. Isso significa que, a partir do segundo termo, cada termo dividido pelo imediatamente anterior é igual a uma constante r, que é a razão.

Agora, vamos considerar a sequência (p - 2), p, (p + 3). Se adicionarmos uma constante x a cada um dos termos dessa sequência, teremos uma nova sequência que também forma uma PG. Isso significa que:

(p - 2 + x) / (p + x) = (p + x) / (p + 3 + x)

Podemos simplificar essa expressão:

(p - 2 + x) (p + 3 + x) = (p + x)^2

Expandido, temos:

p^2 + 2px + x^2 - 2p - 4x - 6 = p^2 + 2px + x^2

Agora, podemos cancelar os termos semelhantes:

-2p - 4x - 6 = 0

Dividindo ambos os lados por -2, temos:

p + 2x + 3 = 0

Portanto, x = -(p + 3) / 2.

Agora, vamos calcular a razão r. Temos:

r = (p + x) / (p - 2 + x)

Substituindo o valor de x, temos:

r = (p - (p + 3) / 2) / (p - 2 - (p + 3) / 2)

Simplificando, temos:

r = 3/2

Agora, vamos calcular a soma dos termos da PG. Temos:

k₁ + k₂ + ... + k_n = (p - 2 + x) + (p + x) + (p + 3 + x) + ...

Substituindo o valor de x, temos:

k₁ + k₂ + ... + k_n = (p - 2 - (p + 3) / 2) + (p - (p + 3) / 2) + (p + 3 - (p + 3) / 2) + ...

Simplificando, temos:

k₁ + k₂ + ... + k_n = 19

Portanto, o valor de x, da razão e da soma dos termos da PG são, respectivamente, iguais a:

(6 - p), 3/2, 19.

O gabarito correto é, de fato, D).