Questões Sobre Proporção - Matemática - concurso

O problema apresentado descreve a compra e venda de lotes por Mateus, com base em proporcionalidade de áreas. Para julgar se o preço de venda também seguiu a proporção das áreas, como ocorreu na compra, é necessário analisar os valores envolvidos.

Inicialmente, o terreno total foi adquirido por R$ 200.000,00, com áreas distribuídas em cinco lotes: dois de 250 m², um de 350 m², um de 450 m² e um de 500 m². O preço de compra foi proporcional à área, o que significa que o valor por metro quadrado foi uniforme:

Valor por m² = R$ 200.000,00 / 1.800 m² ≈ R$ 111,11/m².

Na venda, Mateus negociou três lotes:

• Um lote de 250 m² por R$ 40.000,00 (R$ 160,00/m²).
• Um lote de 350 m² por R$ 50.000,00 (≈ R$ 142,86/m²).
• Um lote de 450 m² por R$ 60.500,00 (≈ R$ 134,44/m²).

Observa-se que os valores por metro quadrado na venda não são iguais, variando entre R$ 160,00/m² e R$ 134,44/m². Se o preço de venda fosse proporcional à área, como na compra, o valor por m² seria constante. Portanto, a afirmação está errada.

Conclui-se que o gabarito correto é E) ERRADO, pois os preços de venda não mantiveram a mesma proporcionalidade em relação às áreas dos lotes.

O problema apresentado envolve a compra de um terreno dividido em cinco lotes com áreas distintas, cujos preços foram proporcionais às suas respectivas metragens. Mateus adquiriu o terreno por R$ 200.000,00, com a seguinte distribuição de áreas:

• Dois lotes de 250 m² cada
• Um lote de 350 m²
• Um lote de 450 m²
• Um lote de 500 m²

Para determinar se cada lote de 250 m² custou mais de R$ 28.000,00, é necessário calcular o valor proporcional de cada lote com base no preço total e na área total.

A área total do terreno é:

2 × 250 m² + 350 m² + 450 m² + 500 m² = 500 + 350 + 450 + 500 = 1.800 m²

O preço por metro quadrado é:

R$ 200.000,00 ÷ 1.800 m² ≈ R$ 111,11/m²

Assim, o valor de cada lote de 250 m² seria:

250 m² × R$ 111,11/m² ≈ R$ 27.777,78

Como R$ 27.777,78 é menor que R$ 28.000,00, a afirmação de que cada lote de 250 m² custou mais de R$ 28.000,00 está incorreta.

Portanto, o gabarito correto é E) ERRADO.

Para resolver o problema, vamos analisar os dados fornecidos e calcular a menor quantia aplicada pelos três amigos.

Os amigos aplicaram valores diretamente proporcionais a 3, 5 e 7, respectivamente. Vamos chamar essas quantias de 3x, 5x e 7x. O banco paga juros simples de 3% ao mês, e o montante total após 6 meses foi de R$ 35.400,00.

Primeiro, calculamos o montante de cada aplicação após 6 meses usando a fórmula de juros simples:

Montante = Capital × (1 + taxa × tempo)

Para cada amigo:

• Montante do primeiro amigo: 3x × (1 + 0,03 × 6) = 3x × 1,18 = 3,54x
• Montante do segundo amigo: 5x × (1 + 0,03 × 6) = 5x × 1,18 = 5,90x
• Montante do terceiro amigo: 7x × (1 + 0,03 × 6) = 7x × 1,18 = 8,26x

A soma dos montantes é igual a R$ 35.400,00:

3,54x + 5,90x + 8,26x = 35.400

17,70x = 35.400

x = 35.400 / 17,70

x = 2.000

Agora, calculamos a menor quantia aplicada:

Menor quantia = 3x = 3 × 2.000 = R$ 6.000,00

O valor de R$ 6.000,00 é superior a R$ 5.800,00, portanto, a afirmação "A menor quantia aplicada foi inferior a R$ 5.800,00" está ERRADA.

Resposta correta: E) ERRADO.

Para resolver o problema, vamos analisar as informações fornecidas e verificar se o montante de R$ 11.800,00 corresponde a uma das aplicações.

Os três amigos aplicaram quantias diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 7. Isso significa que as quantias aplicadas podem ser representadas como 3k, 5k e 7k, respectivamente, onde k é uma constante de proporcionalidade.

O banco paga juros simples de 3% ao mês, e o período de aplicação foi de 6 meses. O montante (M) de cada aplicação pode ser calculado pela fórmula do juros simples:

M = C × (1 + i × t)

Onde:

• C = capital inicial
• i = taxa de juros (3% ao mês = 0,03)
• t = tempo (6 meses)

Calculando o montante para cada aplicação:

• Montante da primeira aplicação (3k): M₁ = 3k × (1 + 0,03 × 6) = 3k × 1,18 = 3,54k
• Montante da segunda aplicação (5k): M₂ = 5k × (1 + 0,03 × 6) = 5k × 1,18 = 5,90k
• Montante da terceira aplicação (7k): M₃ = 7k × (1 + 0,03 × 6) = 7k × 1,18 = 8,26k

A soma dos montantes ao final de 6 meses foi de R$ 35.400,00:

3,54k + 5,90k + 8,26k = 17,70k = 35.400

Portanto, k = 35.400 / 17,70 = 2.000

Agora, calculamos os montantes individuais:

• M₁ = 3,54 × 2.000 = R$ 7.080,00
• M₂ = 5,90 × 2.000 = R$ 11.800,00
• M₃ = 8,26 × 2.000 = R$ 16.520,00

Concluímos que o montante de R$ 11.800,00 corresponde à segunda aplicação (5k). Portanto, o item está CERTO.

Para resolver o problema, é necessário entender como o prêmio é distribuído de forma inversamente proporcional às idades das três pessoas (24, 36 e 48 anos). Isso significa que a quantia recebida por cada uma é proporcional ao inverso de sua idade.

Primeiro, calculamos os fatores de proporcionalidade inversa para cada idade:

• Pessoa de 24 anos: 1/24
• Pessoa de 36 anos: 1/36
• Pessoa de 48 anos: 1/48

Para simplificar, encontramos um denominador comum para as frações. O mínimo múltiplo comum (MMC) de 24, 36 e 48 é 144. Assim, reescrevemos as frações:

• 1/24 = 6/144
• 1/36 = 4/144
• 1/48 = 3/144

A soma dessas partes proporcionais é 6 + 4 + 3 = 13. Portanto, o prêmio total é dividido em 13 partes.

Seja x o valor recebido pela pessoa mais velha (48 anos), que corresponde a 3 partes. A pessoa mais nova (24 anos) recebe 6 partes, ou seja, x + R$ 9.000,00, pois recebeu R$ 9.000,00 a mais que a mais velha.

Como 6 partes correspondem a 3 partes + R$ 9.000,00, temos:

6 partes = 3 partes + R$ 9.000,00

3 partes = R$ 9.000,00

1 parte = R$ 3.000,00

Agora, calculamos o valor recebido pela pessoa de 36 anos, que corresponde a 4 partes:

4 partes = 4 × R$ 3.000,00 = R$ 12.000,00

Portanto, a pessoa de 36 anos recebeu R$ 12.000,00, correspondendo à alternativa D).

O problema apresentado envolve a divisão proporcional de uma gratificação de R$ 500,00 entre dois funcionários, considerando dois critérios: as horas de plantão cumpridas (diretamente proporcionais) e as idades (inversamente proporcionais). Para resolvê-lo, é necessário aplicar os conceitos de proporcionalidade direta e inversa.

Dados do problema:

• Funcionário 1: 36 anos e 24 horas de plantão.
• Funcionário 2: 45 anos e 18 horas de plantão.

Para encontrar a parte de cada um, devemos combinar as proporções. Primeiro, estabelecemos a relação:

Parte do Funcionário 1 (P1) é diretamente proporcional às horas (24) e inversamente proporcional à idade (36).

Parte do Funcionário 2 (P2) é diretamente proporcional às horas (18) e inversamente proporcional à idade (45).

Assim, temos:

P1 = k * (24 / 36) = k * (2/3)

P2 = k * (18 / 45) = k * (2/5)

Somando as partes, temos o total da gratificação:

P1 + P2 = 500

k*(2/3) + k*(2/5) = 500

Para resolver, encontramos o MMC de 3 e 5, que é 15:

k*(10/15 + 6/15) = 500

k*(16/15) = 500

k = 500 * (15/16)

k = 468,75

Agora, calculamos P1 (parte do mais jovem):

P1 = 468,75 * (2/3) = 312,50

Portanto, o valor recebido pelo funcionário mais jovem foi de R$ 312,50, correspondendo à alternativa C).

De acordo com uma pesquisa, somente 62% dos 34.200 trabalhadores não-autônomos de um certo município têm registro em Carteira de Trabalho. O número de trabalhadores informais, não-autônomos, desse município, é:

• A) 21 204
• B) 18 472
• C) 13 680
• D) 12 996
• E) 8 550

O gabarito correto é D) 12 996.

Quatro técnicos em contabilidade, A, B, C e D, vão repartir entre si um total de 220 processos trabalhistas. A divisão ocorre em duas etapas: os dois primeiros recebem 2/5 do total, enquanto os dois últimos ficam com o restante. As regras de distribuição são diferentes para cada dupla, envolvendo proporcionalidade inversa e direta em relação às idades.

Primeira etapa: A e B recebem juntos 2/5 de 220, ou seja, 88 processos. Essa parte é dividida de forma inversamente proporcional às suas idades (24 e 20 anos).

Para calcular a divisão inversamente proporcional, usamos a fórmula:

Parte de A = (k) / 24

Parte de B = (k) / 20

Sabendo que A + B = 88, temos:

(k/24) + (k/20) = 88

Encontrando o MMC entre 24 e 20 (que é 120), temos:

(5k + 6k) / 120 = 88

11k = 88 * 120

k = 960

Portanto:

A = 960 / 24 = 40 processos

B = 960 / 20 = 48 processos

Segunda etapa: C e D recebem o restante, ou seja, 220 - 88 = 132 processos. Essa parte é dividida de forma diretamente proporcional às suas idades (34 e 32 anos).

Para calcular a divisão diretamente proporcional, usamos a fórmula:

Parte de C = 34x

Parte de D = 32x

Sabendo que C + D = 132, temos:

34x + 32x = 132

66x = 132

x = 2

Portanto:

C = 34 * 2 = 68 processos

D = 32 * 2 = 64 processos

Analisando as alternativas:

• A) A foi 44 - Incorreto (A recebeu 40)
• B) B foi 48 - Correto (B recebeu 48)
• C) C foi 58 - Incorreto (C recebeu 68)
• D) D foi 60 - Incorreto (D recebeu 64)
• E) D foi 68 - Incorreto (D recebeu 64)

Portanto, o gabarito correto é B) B foi 48.

A respeito da relação entre porcentagem e grandezas proporcionais, o problema apresentado estabelece uma condição específica envolvendo os números reais positivos x e y. Segundo o enunciado, adicionar 50% de x à soma x + y equivale a acrescentar 20% da própria soma x + y a essa mesma soma. Matematicamente, essa condição pode ser expressa da seguinte forma:

x + y + 0,5x = x + y + 0,2(x + y)

Simplificando essa equação, temos:

1,5x + y = 1,2x + 1,2y

Subtraindo 1,2x e y de ambos os lados, obtemos:

0,3x = 0,2y

Dividindo ambos os lados por 0,1, chegamos a:

3x = 2y

Isso implica que a razão entre x e y é constante, ou seja:

x/y = 2/3

Portanto, x e y são diretamente proporcionais a 2 e 3, respectivamente, pois a relação entre eles mantém essa proporção fixa. Conclui-se que o item está correto, e a alternativa C) CERTO é a resposta adequada.

Para resolver o problema apresentado, é necessário analisar a relação entre o número de técnicos, o tempo de trabalho e a quantidade de dados coletados. O enunciado informa que 3 técnicos, trabalhando por 8 horas, conseguem coletar 64% dos dados necessários. A questão pede para avaliar se 5 técnicos, em 6 horas, coletam mais de 75% dos dados.

Primeiramente, podemos calcular a produtividade por técnico por hora. Se 3 técnicos em 8 horas coletam 64%, então a produtividade individual por hora é:

Produtividade por técnico por hora = (64%) / (3 técnicos × 8 horas) = 64% / 24 = 2,666...% por técnico por hora.

Agora, aplicando essa produtividade para 5 técnicos em 6 horas:

Dados coletados = 5 técnicos × 6 horas × 2,666...% = 5 × 6 × (8/3)% = 30 × (8/3)% = 80%.

Portanto, 5 técnicos em 6 horas coletam 80% dos dados, o que é superior a 75%. Dessa forma, a afirmação está correta.

Conclusão: O item está C) CERTO, conforme o gabarito indicado.