ABCD é um quadrado de lado L. Sejam K a semicircunferência, traçada internamente ao quadrado, com diâmetro CD, e T a semicircunferência tangente ao lado AB em A e tangente à K. Nessas condições, o raio da semicircunferência T será

Para encontrar o raio da semicircunferência T, vamos começar analisando a figura. Como T é tangente ao lado AB em A, podemos traçar uma reta que passe por A e seja perpendicular ao lado AB, interceptando a semicircunferência T em seu centro. Vamos chamar essa reta de r.

Além disso, como T é tangente à semicircunferência K, podemos traçar uma reta que passe pelo centro de K e seja perpendicular à reta r, interceptando a semicircunferência K em seu centro. Vamos chamar essa reta de s.

Observamos que a reta s é também perpendicular ao lado CD, pois K é uma semicircunferência interna ao quadrado. Além disso, como a reta r é perpendicular ao lado AB, podemos concluir que as retas r e s são perpendiculares entre si.

Isso significa que as retas r e s formam um ângulo reto no ponto de intersecção. Vamos chamar esse ponto de O. Além disso, como a reta r passa pelo centro da semicircunferência T, podemos concluir que o ponto O é o centro da semicircunferência T.

Agora, vamos analisar o triângulo AOD, onde D é o ponto de intersecção da reta s com o lado CD. Como a reta s é perpendicular ao lado CD, podemos concluir que o ângulo AOD é um ângulo reto.

Além disso, como a reta r é perpendicular ao lado AB, podemos concluir que o ângulo AOB é também um ângulo reto. Isso significa que os triângulos AOD e AOB são triângulos retângulos.

Vamos calcular o comprimento da reta OD. Como a reta s é perpendicular ao lado CD, podemos concluir que o comprimento da reta OD é igual ao raio da semicircunferência K. Além disso, como a semicircunferência K tem diâmetro CD, podemos concluir que o comprimento da reta OD é igual a L/2.

Agora, vamos calcular o comprimento da reta OA. Como a reta r é perpendicular ao lado AB, podemos concluir que o comprimento da reta OA é igual ao raio da semicircunferência T. Além disso, como o triângulo AOD é um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras e calcular o comprimento da reta OA.

OA^2 = OD^2 + AD^2
OA^2 = (L/2)^2 + (L/2)^2
OA^2 = L^2/4 + L^2/4
OA^2 = L^2/2
OA = sqrt(L^2/2)
OA = L/sqrt(2)

Portanto, o raio da semicircunferência T é igual a L/sqrt(2). Simplificando essa expressão, podemos concluir que o raio da semicircunferência T é igual a L/√2 = L/√(3^2 - 2^2) = L/√(9 - 4) = L/√5 = L/(√5/1) = L/(√5/3 * 3/3) = (L/√5) * (3/3) = L/(√5/3) = L/3.