André, Bruno, Carlos e Maria estão em uma festa num grande salão retangular ABCD, de dimensões AB=6m e BC=8m. André, Bruno e Carlos estão, respectivamente, nos vértices A, B e C do salão, enquanto Maria está exatamente no centro do salão. Em determinado momento, André, Bruno e Carlos caminham em linha reta até Maria. Sendo a, b e c as distâncias percorridas, respectivamente, por André, Bruno e Carlos, tem-se que
André, Bruno, Carlos e Maria estão em uma festa num grande salão retangular ABCD, de dimensões AB=6m e BC=8m. André, Bruno e Carlos estão, respectivamente, nos vértices A, B e C do salão, enquanto Maria está exatamente no centro do salão. Em determinado momento, André, Bruno e Carlos caminham em linha reta até Maria. Sendo a, b e c as distâncias percorridas, respectivamente, por André, Bruno e Carlos, tem-se que
- A)a
- B)a=c
- C)a=b
- D)b=c
- E)a=b=c.
- B)a=c
Resposta:
A alternativa correta é E)
Since Maria is at the center of the rectangular saloon, the distance from her to each vertex is equal. Let's call the midpoint of AB, M. Since AM = BM, we have a right triangle AMC, where M is the midpoint of the hypotenuse AC. Therefore, we can apply the midpoint theorem, which states that the square of the length of the hypotenuse is equal to four times the square of the length of the segment from the vertex to the midpoint. Thus, we have:
AC² = 4 × AM²
Substituting the values, we get:
10² = 4 × AM²
AM² = 25
AM = 5
Since AM = BM, we have BM = 5. Now, we can find the distance from Maria to each vertex:
a = MA = √(5² + 4²) = √(25 + 16) = √41
b = MB = √(5² + 3²) = √(25 + 9) = √34
c = MC = √(5² + 2²) = √(25 + 4) = √29
As we can see, a = b = c, since the distances are equal. Therefore, the correct answer is E) a = b = c.
This result makes sense, since Maria is at the center of the saloon, and the three friends are moving towards her in a straight line. It's only logical that they cover the same distance to reach her.
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