As médias aritmética e geométrica de dois números inteiros positivos x e y são definidas por x+y /2 e √ x·y , respectivamente. Sabendo-se que a área de um retângulo mede 144 u.a. e que as médias aritmética e geométrica das medidas dos comprimentos de seus lados são iguais, os lados do retângulo medem

Vamos resolver esse problema passo a passo! Primeiramente, vamos lembrar que a área de um retângulo é dada pelo produto de seus lados: A = xy. Como a área é de 144 unidades de área, podemos escrever:

xy = 144

Agora, como as médias aritmética e geométrica são iguais, podemos criar uma equação que relacione essas duas grandezas:

(x + y) / 2 = √(xy)

Podemos começar a resolver essa equação, começando por elevar ao quadrado ambos os lados para evitar a raiz quadrada:

((x + y) / 2)^2 = xy

Explicando o quadrado do lado esquerdo:

(x^2 + 2xy + y^2) / 4 = xy

Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar a fração:

x^2 + 2xy + y^2 = 4xy

Agora, podemos reorganizar a equação para que os termos em x e y fiquem juntos:

x^2 - 2xy + y^2 = 0

Essa equação pode ser fatorada como:

(x - y)^2 = 0

O que significa que:

x - y = 0

x = y

Isso significa que os lados do retângulo são iguais! Voltando à equação xy = 144, podemos agora escrever:

y^2 = 144

y = ±12

Como y é um número inteiro positivo, y = 12. E como x = y, x também é igual a 12.

Portanto, os lados do retângulo medem 12 e 12. A resposta certa é B) 12 e 12.