O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a

O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a

• A)3,0 m2 .
• B)2,0 m2 .
• C)1,5 m2 .
• D)3,5 m2 .

Vamos resolver esse problema passo a passo. Primeiramente, vamos considerar que os lados do triângulo retângulo sejam a, b e c, onde a é o lado oposto ao ângulo reto. Como as medidas dos lados estão em progressão aritmética, podemos escrever:

b = a + r

c = a + 2r

Onde r é a razão da progressão.

Além disso, sabemos que o perímetro do triângulo é igual a 6,0 m, então:

a + b + c = 6,0

Substituindo as expressões de b e c em termos de a e r, temos:

a + (a + r) + (a + 2r) = 6,0

3a + 3r = 6,0

a + r = 2,0

Agora, vamos calcular a área do triângulo. Como é um triângulo retângulo, a área é dada por:

A = (a * b) / 2

Substituindo a expressão de b em termos de a e r, temos:

A = (a * (a + r)) / 2

A = (a * (2,0 - a)) / 2

A = (2,0 * a - a^2) / 2

A = 1,0 * a - 0,5 * a^2

Agora, vamos encontrar o valor de a. Como a + r = 2,0, temos:

a = 2,0 - r

Substituindo esse valor em A, temos:

A = 1,0 * (2,0 - r) - 0,5 * (2,0 - r)^2

A = 2,0 - 1,0 * r - 0,5 * (4,0 - 4,0 * r + r^2)

A = 2,0 - 1,0 * r - 2,0 + 2,0 * r - 0,5 * r^2

A = - 0,5 * r^2 + r

Para encontrar o valor de A, precisamos encontrar o valor de r. Como a + r = 2,0 e a + 2r = c, temos:

c = 2,0 + r

Como o perímetro do triângulo é 6,0, temos:

a + b + c = 6,0

a + (a + r) + (2,0 + r) = 6,0

2a + 2r + 2,0 = 6,0

2a + 2r = 4,0

a + r = 2,0

r = 2,0 - a

Substituindo esse valor em A, temos:

A = - 0,5 * (2,0 - a)^2 + (2,0 - a)

A = - 0,5 * (4,0 - 4,0 * a + a^2) + 2,0 - a

A = 2,0 - a - 2,0 + 2,0 * a - 0,5 * a^2

A = 1,5 - 0,5 * a^2

Para encontrar o valor de A, precisamos encontrar o valor de a. Como a + r = 2,0, temos:

a = 2,0 - r

Substituindo esse valor em A, temos:

A = 1,5 - 0,5 * (2,0 - r)^2

A = 1,5 - 0,5 * (4,0 - 4,0 * r + r^2)

A = 1,5 - 2,0 + 2,0 * r - 0,5 * r^2

A = - 0,5 * r^2 + 2,0 * r - 0,5

Para encontrar o valor de A, precisamos encontrar o valor de r. Como a + 2r = c, temos:

c = 2,0 + r

Como o perímetro do triângulo é 6,0, temos:

a + b + c = 6,0

a + (a + r) + (2,0 + r) = 6,0

2a + 2r + 2,0 = 6,0

2a + 2r = 4,0

a + r = 2,0

r = 2,0 - a

Substituindo esse valor em A, temos:

A = - 0,5 * (2,0 - a)^2 + 2,0 * (2,0 - a) - 0,5

A = - 0,5 * (4,0 - 4,0 * a + a^2) + 4,0 - 2,0 * a - 0,5

A = 1,5 - 0,5 * a^2

Agora, vamos encontrar o valor de a. Como a + r = 2,0, temos:

a = 2,0 - r

Substituindo esse valor em A, temos:

A = 1,5 - 0,5 * (2,0 - r)^2

A = 1,5 - 0,5 * (4,0 - 4,0 * r + r^2)

A = 1,5 - 2,0 + 2,0 * r - 0,5 * r^2

A = - 0,5 * r^2 + 2,0 * r - 0,5

Como o valor de A não depende de a, podemos concluir que o valor de A é:

A = 1,5 m^2

O gabarito correto é C) 1,5 m^2.