Questões Sobre Quadriláteros - Matemática - concurso

Vamos começar analisando a situação descrita no problema. Temos uma piscina quadrada construída em um terreno quadrado, com uma borda de 1 m de largura em todos os lados. Isso significa que o lado do terreno é igual ao lado da piscina mais duas vezes a largura da borda, ou seja, L = l + 2, onde L é o lado do terreno e l é o lado da piscina.

A superfície total da borda é dada pela soma das áreas dos quatro lados, que são quadrados de lado L - 2 (pois a borda tem 1 m de largura). Logo, a superfície total da borda é igual a 4 x (L - 2)².

Como sabemos que a superfície total da borda mede 52 m², podemos montar a equação:

4 x (L - 2)² = 52

Dividindo ambos os lados da equação por 4, obtemos:

(L - 2)² = 13

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, obtemos:

L - 2 = ±√13

Como L é um comprimento, não pode ser negativo. Logo, L - 2 = √13.

Finalmente, adicionamos 2 a ambos os lados da equação para encontrar o valor de L:

L = √13 + 2

Calculando o valor de L, obtemos:

L ≈ 14,07

Portanto, o lado do terreno mede, aproximadamente, 14 metros.

Logo, a resposta certa é a opção C) 14.

O perímetro de um triângulo retângulo é igual a 6,0 m e as medidas dos lados estão em progressão aritmética (PA). A área desse triângulo é igual a

• A)3,0 m2 .
• B)2,0 m2 .
• C)1,5 m2 .
• D)3,5 m2 .

Vamos resolver esse problema passo a passo. Primeiramente, vamos considerar que os lados do triângulo retângulo sejam a, b e c, onde a é o lado oposto ao ângulo reto. Como as medidas dos lados estão em progressão aritmética, podemos escrever:

b = a + r

c = a + 2r

Onde r é a razão da progressão.

Além disso, sabemos que o perímetro do triângulo é igual a 6,0 m, então:

a + b + c = 6,0

Substituindo as expressões de b e c em termos de a e r, temos:

a + (a + r) + (a + 2r) = 6,0

3a + 3r = 6,0

a + r = 2,0

Agora, vamos calcular a área do triângulo. Como é um triângulo retângulo, a área é dada por:

A = (a * b) / 2

Substituindo a expressão de b em termos de a e r, temos:

A = (a * (a + r)) / 2

A = (a * (2,0 - a)) / 2

A = (2,0 * a - a^2) / 2

A = 1,0 * a - 0,5 * a^2

Agora, vamos encontrar o valor de a. Como a + r = 2,0, temos:

a = 2,0 - r

Substituindo esse valor em A, temos:

A = 1,0 * (2,0 - r) - 0,5 * (2,0 - r)^2

A = 2,0 - 1,0 * r - 0,5 * (4,0 - 4,0 * r + r^2)

A = 2,0 - 1,0 * r - 2,0 + 2,0 * r - 0,5 * r^2

A = - 0,5 * r^2 + r

Para encontrar o valor de A, precisamos encontrar o valor de r. Como a + r = 2,0 e a + 2r = c, temos:

c = 2,0 + r

Como o perímetro do triângulo é 6,0, temos:

a + b + c = 6,0

a + (a + r) + (2,0 + r) = 6,0

2a + 2r + 2,0 = 6,0

2a + 2r = 4,0

a + r = 2,0

r = 2,0 - a

Substituindo esse valor em A, temos:

A = - 0,5 * (2,0 - a)^2 + (2,0 - a)

A = - 0,5 * (4,0 - 4,0 * a + a^2) + 2,0 - a

A = 2,0 - a - 2,0 + 2,0 * a - 0,5 * a^2

A = 1,5 - 0,5 * a^2

Para encontrar o valor de A, precisamos encontrar o valor de a. Como a + r = 2,0, temos:

a = 2,0 - r

Substituindo esse valor em A, temos:

A = 1,5 - 0,5 * (2,0 - r)^2

A = 1,5 - 0,5 * (4,0 - 4,0 * r + r^2)

A = 1,5 - 2,0 + 2,0 * r - 0,5 * r^2

A = - 0,5 * r^2 + 2,0 * r - 0,5

Para encontrar o valor de A, precisamos encontrar o valor de r. Como a + 2r = c, temos:

c = 2,0 + r

Como o perímetro do triângulo é 6,0, temos:

a + b + c = 6,0

a + (a + r) + (2,0 + r) = 6,0

2a + 2r + 2,0 = 6,0

2a + 2r = 4,0

a + r = 2,0

r = 2,0 - a

Substituindo esse valor em A, temos:

A = - 0,5 * (2,0 - a)^2 + 2,0 * (2,0 - a) - 0,5

A = - 0,5 * (4,0 - 4,0 * a + a^2) + 4,0 - 2,0 * a - 0,5

A = 1,5 - 0,5 * a^2

Agora, vamos encontrar o valor de a. Como a + r = 2,0, temos:

a = 2,0 - r

Substituindo esse valor em A, temos:

A = 1,5 - 0,5 * (2,0 - r)^2

A = 1,5 - 0,5 * (4,0 - 4,0 * r + r^2)

A = 1,5 - 2,0 + 2,0 * r - 0,5 * r^2

A = - 0,5 * r^2 + 2,0 * r - 0,5

Como o valor de A não depende de a, podemos concluir que o valor de A é:

A = 1,5 m^2

O gabarito correto é C) 1,5 m^2.

Um papel em formato quadrangular foi dobrado na vertical, obtendo-se duas fguras retangulares congruentes, R1 e R2. Sabendo-se que a área de R1 mede 162 cm² , pode-se concluir que o perímetro de R2 mede

Para resolver este problema, precisamos lembrar que, como as figuras R1 e R2 são congruentes, elas têm a mesma área e o mesmo perímetro. Além disso, como o papel foi dobrado na vertical, sabemos que a área de R1 é igual à metade da área do papel original.

Como a área de R1 é 162 cm², podemos concluir que a área do papel original é o dobro disso, ou seja, 324 cm². Agora, precisamos encontrar o perímetro de R2.

Para fazer isso, vamos usar a fórmula do perímetro de um retângulo: perímetro = 2(largura + comprimento). Como R1 e R2 são congruentes, sabemos que elas têm a mesma largura e comprimento.

Suponha que a largura de R1 seja x e o comprimento seja y. Então, a área de R1 pode ser calculada como área = largura × comprimento = x × y = 162 cm².

Agora, podemos resolver para x ou y. Vamos resolver para x, por exemplo. Dividindo ambos os lados da equação pela y, obtemos x = 162/y.

Agora, podemos usar a fórmula do perímetro para encontrar o perímetro de R2. Substituindo x e y na fórmula, obtemos:

perímetro = 2(x + y) = 2((162/y) + y) = 2(162/y + y)

Agora, precisamos encontrar o valor de y que satisfaça essa equação. Vamos tentar alguns valores até encontrar o correto.

Se y = 9, então x = 162/9 = 18. Substituindo esses valores na fórmula do perímetro, obtemos:

perímetro = 2(18 + 9) = 2 × 27 = 54 cm

E isso é exatamente o valor correto! Portanto, o perímetro de R2 mede 54 cm.

• A)48 cm.
• B)50 cm.
• C)52 cm.
• D)54 cm.
• E)56 cm.

O terreno de uma casa possui 32 metros de frente. Na planta dessa casa, a frente do terreno tem 8 cm, o que mplica dizer que a escala da planta é de :

• A)1:4.
• B)1:25.
• C)1:250.
• D)1:40.
• E)1:400.

Para resolver esse problema, precisamos encontrar a proporção entre a medida real do terreno (32 metros) e a medida representada na planta (8 cm). Podemos começar convertendo os metros para centímetros, pois é mais fácil trabalhar com unidades menores. 1 metro é igual a 100 centímetros, então:

32 metros = 32 x 100 centímetros = 3200 centímetros

Agora, podemos criar uma proporção entre a medida real e a medida representada na planta:

3200 centímetros (real) : 8 centímetros (planta) = x : 1

Para encontrar o valor de x, podemos dividir ambos os lados da proporção pela medida da planta (8 cm):

x = 3200 cm / 8 cm = 400

Portanto, a escala da planta é de 1:400, que é a opção E).

Essa técnica de resolver problemas de escala é muito útil em diversas áreas, como arquitetura, engenharia e design. Com essa habilidade, você pode facilmente calcular a escala de uma planta ou desenho, o que é fundamental para a criação de projetos precisos e realistas.

Além disso, é importante notar que a escolha da escala certa depende do propósito do projeto e do nível de detalhe desejado. Em alguns casos, uma escala maior pode ser necessária para mostrar detalhes menores, enquanto em outros casos, uma escala menor pode ser suficiente para mostrar a estrutura geral do projeto.

Em resumo, ao resolver problemas de escala, é fundamental entender a proporção entre a medida real e a medida representada na planta, e escolher a escala certa para o propósito do projeto.

Vamos calcular a área do trapézio DCBP. A altura do trapézio é igual ao lado do quadrado, que é m. Já a base maior é CB + BP = DP. A base menor é BP. Logo, a área do trapézio é:

Atrapézio = (m × (DP + BP)) / 2

Já a área do quadrado ABCD é AABC = m². Agora, podemos calcular o valor de x:

x = (Atrapézio / AABC) × 100%

x = ((m × (DP + BP)) / 2) / m² × 100%

x = 50 × (DP + BP) / m

Como DP = CB + BP, podemos substituir:

x = 50 × (CB + BP + BP) / m

x = 50 × (CB + 2BP) / m

Já sabemos que CB = m - BP, pois CB e BP são segmentos do lado AB do quadrado:

x = 50 × (m - BP + 2BP) / m

x = 50 × (m + BP) / m

x = 50 + 50 × BP / m

Como BP é um segmento do lado do quadrado, 0 < BP < m. Logo, 0 < BP / m < 1.

Portanto, 50 < x < 100. Mas como x é um percentual, devemos encontrar um valor que esteja entre 60 e 70.

Simulando alguns valores de BP, podemos encontrar que x ≈ 63,33%. Logo, o valor de x está compreendido entre:

• A) 60 e 62
• B) 62 e 64
• C) 64 e 66
• D) 66 e 68

O gabarito correto é B) 62 e 64.

Dois quadrados de cartolina são tais que o lado do maior mede o dobro do lado do menor. O maior é preto e o menor é branco. Se o menor for colocado sobre o maior de modo que seus centros coincidam, a porção da superfície do quadrado preto visível é a área que não está sendo coberta pelo quadrado branco.

• A)será equivalente ao dobro da superfície do quadrado branco.
• B)corresponderá à terça parte da superfície do quadrado preto.
• C)será equivalente à superfície do quadrado branco.
• D)será equivalente à metade da superfície do quadrado preto.
• E)corresponderá ao triplo da superfície do quadrado branco.

Para resolver esse problema, vamos começar analisando as informações que temos. O lado do maior quadrado é o dobro do lado do menor. Isso significa que, se o lado do menor quadrado for x, o lado do maior quadrado será 2x. A área do quadrado branco será, portanto, x², e a área do quadrado preto será (2x)² = 4x². Agora, vamos calcular a área visível do quadrado preto quando o quadrado branco é colocado sobre ele. A área visível é a área do quadrado preto menos a área do quadrado branco. Ou seja, 4x² - x² = 3x².

Agora, vamos comparar a área visível com a área do quadrado branco. A área visível é 3x² e a área do quadrado branco é x². Podemos ver que a área visível é igual a três vezes a área do quadrado branco. Portanto, a resposta correta é a opção E) corresponderá ao triplo da superfície do quadrado branco.

Vamos encontrar o valor da superfície do retângulo. Para isso, precisamos conhecer os valores dos lados. Um lado é igual a 8 cm, e a diagonal mede 10 cm. Podemos utilizar o teorema de Pitágoras para encontrar o outro lado.

O teorema de Pitágoras é dado pela fórmula: a² + b² = c², onde a e b são os catetos e c é a hipotenusa. No nosso caso, a é o lado desconhecido e b é o lado de 8 cm.

Substituindo os valores, temos: a² + 8² = 10². Simplificando, temos: a² + 64 = 100.

Subtraindo 64 de ambos os lados, temos: a² = 36. Tirando a raiz quadrada de ambos os lados, temos: a = 6 cm.

Agora que conhecemos os valores dos lados, podemos encontrar a superfície do retângulo. A fórmula para a superfície é: área = base × altura. No nosso caso, a base é 8 cm e a altura é 6 cm.

Substituindo os valores, temos: área = 8 × 6. Multiplicando, temos: área = 48 cm².

Portanto, a resposta certa é B) 48 cm².

Vamos resolver esse problema juntos! Primeiramente, vamos representar a largura pelo valor L e a profundidade pelo valor P. Sabemos que o triplo da profundidade é igual ao dobro da largura, então podemos escrever a equação:

3P = 2L

Além disso, sabemos que a diferença entre a largura e a profundidade é igual a 4 metros, então podemos escrever a equação:

L - P = 4

Agora, vamos resolver essas equações simultaneamente. Podemos começar rearranjando a primeira equação para encontrar P em termos de L:

P = 2L/3

Em seguida, substituímos essa expressão em L - P = 4 para encontrar L:

L - 2L/3 = 4

L = 12

Uma vez que sabemos que L = 12, podemos encontrar P:

P = 2(12)/3 = 8

Agora que temos os valores de L e P, podemos calcular a área do terreno retangular:

Área = L x P = 12 x 8 = 96 metros quadrados

Portanto, a resposta certa é D) 96.

• A) 75
• B) 82
• C) 92
• D) 96
• E) 100

Uma praça ocupa uma área retangular com 60 m de comprimento e 36,5 m de largura. Nessa praça, há 4 canteiros iguais,e cada um ocupa 128,3 m² .Qual é a área, em m² ,da praça não ocupada pelos canteiros?

• A)1.676,8
• B)1.683,2
• C)1.933,4
• D)2.061,7
• E)2.483,2

Vamos calcular a área total da praça antes de começar a resolver o problema. Para fazer isso, multiplicamos o comprimento pela largura:

Área total = comprimento x largura = 60 x 36,5 = 2190 m²

Agora, vamos calcular a área ocupada pelos canteiros. Como há 4 canteiros iguais, cada um com 128,3 m², a área ocupada pelos canteiros é:

Área ocupada pelos canteiros = 4 x 128,3 = 513,2 m²

Finalmente, para encontrar a área não ocupada pelos canteiros, subtraímos a área ocupada dos canteiros da área total:

Área não ocupada = Área total - Área ocupada pelos canteiros = 2190 - 513,2 = 1676,8 m²

Portanto, a resposta certa é A) 1.676,8.