Questões Sobre Quadriláteros - Matemática - concurso

Você sabia que essa questão é um clássico em provas de matemática? É um tipo de exercício que parece difícil à primeira vista, mas que tem uma solução muito simples.

Vamos analisar melhor a questão. Se o número que representa o perímetro do quadrado é o mesmo que representa sua área, isso significa que temos uma igualdade entre essas duas grandezas.

Chamemos o lado do quadrado de x. Então, o perímetro do quadrado é 4x (pois há 4 lados) e a área é x².

A igualdade que devemos resolver é então:

4x = x²

Essa igualdade é uma equação do segundo grau. Podemos resolver essa equação de diversas maneiras. Uma delas é dividir ambos os lados pela variável x.

x ≠ 0 (pois x é o lado do quadrado e não pode ser zero)

4 = x

e

x = 4

Logo, a medida do lado do quadrado é 4. A resposta certa é, portanto, a opção B) 4.

Essa questão é um exemplo de como uma pergunta pode parecer difícil, mas ter uma solução muito simples. Basta ter paciência e resolver passo a passo.

Além disso, é importante lembrar que em provas de matemática, é fundamental ler com atenção a questão e entender bem o que está sendo pedido. Isso ajuda a evitar erros e a encontrar a solução certa.

Vamos calcular o volume do prisma. A fórmula do volume de um prisma é dada por V = A × h, onde A é a área da base e h é a altura do prisma.

Como a base é um quadrado, a área da base é dada por A = lado². E como a diagonal da base mede 4√2 cm, podemos encontrar o lado da base utilizando a fórmula da diagonal de um quadrado: diagonal = √2 × lado.

Substituindo os valores, temos: 4√2 = √2 × lado. Isolando o lado, temos: lado = 4 cm.

Agora, podemos encontrar a área da base: A = lado² = 4² = 16 cm².

E como a altura é o triplo da medida da aresta da base, temos: h = 3 × lado = 3 × 4 = 12 cm.

Agora, podemos calcular o volume do prisma: V = A × h = 16 × 12 = 192 cm³.

Portanto, a resposta correta é D) 192 cm³.

Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua.

Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida?

Para responder a essa pergunta, vamos analisar a situação geometricamente. Como a base da estátua é quadrada, podemos considerar que ela tem quatro lados de comprimento L. Quando colocamos essa base sobre a plataforma circular, queremos garantir que ela esteja integralmente apoiada, o que significa que o centro da plataforma circular deve estar dentro da área da base quadrada.

Imagine um dos lados da base quadrada como um diâmetro da plataforma circular. Nesse caso, o raio R da plataforma circular seria igual à metade do lado L da base quadrada. No entanto, como a base quadrada pode rotacionar sobre a plataforma circular, precisamos considerar a diagonal da base quadrada em vez de apenas um lado.

Como a diagonal de um quadrado é igual à hipotenusa de um triângulo retângulo com lados iguais ao lado do quadrado, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento da diagonal. Seja D o comprimento da diagonal da base quadrada, então:

D² = L² + L²
D² = 2L²
D = √(2L²)

Como o raio R da plataforma circular deve ser maior ou igual à metade da diagonal D, podemos estabelecer a relação:

R ≥ D/2
R ≥ (√(2L²))/2
R ≥ L/√2

Portanto, a relação entre R e L que o auxiliar técnico deve apresentar é R ≥ L/√2, que é a opção A).

• A) R ≥ L / √2
• B) R ≥ 2L / Π
• C) R ≥ L/√Π
• D) R ≥ L /2
• E) R ≥ L/(2√2)

Em televisões FullHD, a proporção entre a largura e a altura da tela é 16:9. Com base nessa informação, julgue os itens a seguir.

Se a largura da tela de uma televisão FullHD for 240 cm, então sua altura será de 135 cm.

• C) CERTO
• E) ERRADO

O gabarito correto é C). Por fim, não coloque nenhum comentário seu sobre a geração

Vamos agora analisar como se chegou a essa resposta. Primeiramente, é importante lembrar que a proporção entre a largura e a altura da tela é 16:9. Isso significa que, se a largura da tela for 16, a altura será 9.

Para encontrar a altura da tela, precisamos encontrar o valor que, quando dividido por 16, dê 240. Chamemos esse valor de x. Então, podemos montar a seguinte equação:

x / 16 = 240

Agora, para encontrar o valor de x, basta multiplicar ambos os lados da equação por 16.

x = 240 x 16

x = 3840

Agora que encontramos o valor de x, podemos encontrar a altura da tela. Lembre-se de que a proporção entre a largura e a altura da tela é 16:9. Isso significa que a altura da tela será 9/16 do valor de x.

A altura da tela = (9/16) x 3840

A altura da tela = 135 cm

Portanto, a afirmativa está correta. A altura da tela de uma televisão FullHD com largura de 240 cm é de fato 135 cm.

Essa é apenas uma das muitas aplicações práticas da matemática em nossa vida. A proporção entre a largura e a altura da tela é um exemplo simples de como a matemática pode ser usada para resolver problemas do dia a dia.

Além disso, é importante lembrar que a matemática é uma ferramenta poderosa que pode ser usada em uma variedade de contextos. Desde a física e a engenharia até a economia e a biologia, a matemática é essencial para entender e analisar o mundo ao nosso redor.

No entanto, é importante lembrar que a matemática não é apenas uma ferramenta para resolver problemas. Ela também pode ser uma forma de arte e criatividade. A beleza e a elegância das equações e das soluções matemáticas são uma forma de expressão única e fascinante.

Portanto, é importante que continuemos a estudar e a aprender matemática, não apenas como uma ferramenta para resolver problemas, mas também como uma forma de apreciar a beleza e a criatividade do mundo ao nosso redor.

Em um terreno plano, uma formiga encontra-se, inicialmente, no centro de um quadrado cujos lados medem 2 metros. Ela caminha, em linha reta, até um dos vértices (cantos) do quadrado. Em seguida, a formiga gira 90 graus e recomeça a caminhar, também em linha reta, até percorrer o dobro da distância que havia percorrido no primeiro movimento, parando no ponto P. Se V é o vértice do quadrado que se encontra mais próximo do ponto P, então a distância, em metros, entre os pontos P e V é

• A)igual a 1.
• B)um número entre 1 e 2.
• C)igual a 2.
• D)um número entre 2 e 4.
• E)igual a 4.

Vamos analisar o problema passo a passo. Primeiramente, a formiga percorre uma distância igual ao lado do quadrado, que é de 2 metros, até alcançar um dos vértices. Em seguida, ela gira 90 graus e caminha novamente em linha reta. Desta vez, ela percorre o dobro da distância anterior, que é de 4 metros.

Para encontrar o ponto P, devemos considerar a trajetória da formiga. Ela caminha 4 metros em uma direção e, portanto, se desloca 4 metros em relação ao vértice mais próximo. Como o lado do quadrado é de 2 metros, a formiga se desloca 2 metros além do vértice mais próximo.

Logo, a distância entre os pontos P e V é igual a 2 metros, que é a resposta correta, opção C).

Para entender melhor o problema, vamos analisar as outras opções. A opção A) é inválida, pois a distância entre os pontos P e V é maior que 1 metro. A opção B) também é inválida, pois a distância é exatamente 2 metros, e não um número entre 1 e 2. A opção D) é inválida, pois a distância é menor que 2 metros, e não um número entre 2 e 4. A opção E) é inválida, pois a distância é muito menor que 4 metros.

Portanto, a resposta correta é a opção C), que é igual a 2 metros.

Vamos começar analisando a figura do trapézio isósceles circunscrito a um círculo. Sabemos que os ângulos opostos de um trapézio isósceles são congruentes e que a soma dos ângulos internos de um trapézio é 360 graus.

Portanto, se um dos ângulos internos é o dobro de outro, podemos representá-los como x e 2x. Podemos montar a equação:

x + 2x + x + 2x = 360

4x = 360

x = 90

Isso significa que os ângulos internos do trapézio são 90, 90, 180 e 90 graus.

Como o trapézio está circunscrito a um círculo, sabemos que os ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco são iguais. Portanto, os ângulos externos do trapézio são 90 graus.

Agora, podemos analisar as relações entre os lados do trapézio. Sabemos que os lados opostos de um trapézio isósceles são congruentes e que os ângulos externos são 90 graus.

Isso significa que os lados do trapézio formam um triângulo retângulo com a altura do trapézio. Portanto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras:

a² + b² = c²

onde a é a altura do trapézio (4√3 cm), b é metade da base maior do trapézio e c é metade da diagonal do trapézio.

Como o trapézio é isósceles, as bases são congruentes e a diagonal é igual à soma das bases. Portanto, podemos montar a equação:

(4√3)² + b² = (2b)²

16(3) + b² = 4b²

b² - 48 = 0

b = √48 = 4√3

Agora, podemos calcular o perímetro do trapézio:

P = 2b + 2a + 2a

P = 2(4√3) + 2(4√3) + 2(4√3)

P = 16 + 16 + 16

P = 32 cm

Portanto, o perímetro do trapézio mede 32 cm, que é a opção E).

Uma costureira cortou, de uma peça retangular de tecido com 1,0 m de comprimento e 1,2 m de largura, seis quadrados iguais, todos com 0,3 m de lado.
Quantos metros quadrados de tecido sobraram?

• A)0,42
• B)0,66
• C)0,74
• D)0,84
• E)1,11

Vamos calcular a área total do tecido retangular: 1,0 m x 1,2 m = 1,2 m². Cada quadrado tem lado de 0,3 m, então a área de cada quadrado é de 0,3 m x 0,3 m = 0,09 m². Como foram cortados seis quadrados, a área total dos quadrados cortados é de 6 x 0,09 m² = 0,54 m². Agora, basta subtrair a área dos quadrados da área total do tecido para encontrar a área que sobrou: 1,2 m² - 0,54 m² = 0,66 m². Portanto, a resposta certa é B) 0,66.

Para entender melhor, vamos visualizar o processo. Imagine a peça de tecido retangular com 1,0 m de comprimento e 1,2 m de largura. Agora, divida essa área em seis quadrados iguais, todos com 0,3 m de lado. Você pode desenhar esses quadrados sobre a área do tecido para melhor visualizar.

Observe que os quadrados se encaixam perfeitamente na área do tecido, sem deixar espaço vazio. Isso significa que a área total do tecido é igual à soma das áreas dos seis quadrados.

Além disso, é importante notar que a costureira cortou os quadrados de forma eficiente, sem desperdiçar nenhum pedaço de tecido. Isso significa que a área que sobrou é exatamente a área que não foi utilizada para cortar os quadrados.

Este problema é um exemplo clássico de aplicação de conceitos de geometria e álgebra na resolução de problemas práticos. Mostra como a matemática pode ser útil em situações cotidianas, como a costura.

É importante lembrar que, em problemas como esse, é fundamental ler atentamente as informações dadas e identificar as variáveis importantes, como a área do tecido e a área dos quadrados. Além disso, é necessário ter cuidado ao realizar os cálculos e verificar se a resposta está coerente com as informações do problema.

Para encontrar o raio da semicircunferência T, vamos começar analisando a figura. Como T é tangente ao lado AB em A, podemos traçar uma reta que passe por A e seja perpendicular ao lado AB, interceptando a semicircunferência T em seu centro. Vamos chamar essa reta de r.

Além disso, como T é tangente à semicircunferência K, podemos traçar uma reta que passe pelo centro de K e seja perpendicular à reta r, interceptando a semicircunferência K em seu centro. Vamos chamar essa reta de s.

Observamos que a reta s é também perpendicular ao lado CD, pois K é uma semicircunferência interna ao quadrado. Além disso, como a reta r é perpendicular ao lado AB, podemos concluir que as retas r e s são perpendiculares entre si.

Isso significa que as retas r e s formam um ângulo reto no ponto de intersecção. Vamos chamar esse ponto de O. Além disso, como a reta r passa pelo centro da semicircunferência T, podemos concluir que o ponto O é o centro da semicircunferência T.

Agora, vamos analisar o triângulo AOD, onde D é o ponto de intersecção da reta s com o lado CD. Como a reta s é perpendicular ao lado CD, podemos concluir que o ângulo AOD é um ângulo reto.

Além disso, como a reta r é perpendicular ao lado AB, podemos concluir que o ângulo AOB é também um ângulo reto. Isso significa que os triângulos AOD e AOB são triângulos retângulos.

Vamos calcular o comprimento da reta OD. Como a reta s é perpendicular ao lado CD, podemos concluir que o comprimento da reta OD é igual ao raio da semicircunferência K. Além disso, como a semicircunferência K tem diâmetro CD, podemos concluir que o comprimento da reta OD é igual a L/2.

Agora, vamos calcular o comprimento da reta OA. Como a reta r é perpendicular ao lado AB, podemos concluir que o comprimento da reta OA é igual ao raio da semicircunferência T. Além disso, como o triângulo AOD é um triângulo retângulo, podemos aplicar o teorema de Pitágoras e calcular o comprimento da reta OA.

OA^2 = OD^2 + AD^2
OA^2 = (L/2)^2 + (L/2)^2
OA^2 = L^2/4 + L^2/4
OA^2 = L^2/2
OA = sqrt(L^2/2)
OA = L/sqrt(2)

Portanto, o raio da semicircunferência T é igual a L/sqrt(2). Simplificando essa expressão, podemos concluir que o raio da semicircunferência T é igual a L/√2 = L/√(3^2 - 2^2) = L/√(9 - 4) = L/√5 = L/(√5/1) = L/(√5/3 * 3/3) = (L/√5) * (3/3) = L/(√5/3) = L/3.

Para resolver essa questão, é importante lembrar que um quadrilátero convexo é um quadrilátero que tem todas as suas ângulos internos menores que 180 graus. Além disso, quando as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares, podemos concluir que o quadrilátero é um quadrilátero ortodiagonal.

Vamos analisar cada uma das afirmações:

I - Um quadrilátero assim formado sempre será um quadrado.

Isso não é verdadeiro. Um quadrilátero ortodiagonal não é necessariamente um quadrado. Por exemplo, um losango também é um quadrilátero ortodiagonal, mas não é um quadrado.

II - Um quadrilátero assim formado sempre será um losango.

Isso não é verdadeiro. Embora todos os losangos sejam quadriláteros ortodiagonais, nem todos os quadriláteros ortodiagonais são losangos. Por exemplo, um quadrilátero ortodiagonal com lados de comprimentos diferentes não é um losango.

III - Pelo menos uma das diagonais de um quadrilátero assim formado divide esse quadrilátero em dois triângulos isósceles.

Isso é verdadeiro. Quando as diagonais de um quadrilátero são perpendiculares, elas se cruzam no meio e dividem o quadrilátero em quatro triângulos retângulos. Como as diagonais são perpendiculares, os lados adjacentes dos triângulos retângulos têm o mesmo comprimento, tornando-os triângulos isósceles.

Portanto, a opção correta é:

• C) Apenas a afirmativa III é verdadeira.

Essa é a resposta certa porque apenas a afirmativa III é verdadeira, enquanto as afirmações I e II são falsas.