Logo do Site - Banco de Questões

Questões Sobre Quadriláteros - Matemática - concurso

Continua após a publicidade..

Questão 51

Os pontos M, N, O e P são os pontos médios dos lados XY, YW, WZ e ZX do quadrado XYWZ. Os segmentos YP e ZM cortam-se no ponto U e os segmentos OY e ZN cortam-se no ponto V. Se a medida do lado do quadrado XYWZ é 12 m então a medida, em m2 , da área do quadrilátero ZUYV é

  • A)36.
  • B)60.
  • C)48.
  • D)72.
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é C)

Vamos analisar melhor a situação. Como os pontos M, N, O e P são os pontos médios dos lados do quadrado, então os segmentos YP, ZM, OY e ZN são todos congruentes e medem 6 metros, pois metade do lado do quadrado.

Além disso, os triângulos YPU e ZMV são congruentes, pois têm lados congruentes e um ângulo comum (ângulo reto). Portanto, as alturas dos triângulos também são congruentes e medem 6 metros.

Logo, o quadrilátero ZUYV pode ser dividido em dois triângulos: ZUV e YVU. A área do triângulo ZUV é igual à metade do produto da base (6 metros) pela altura (6 metros), ou seja, 18 metros quadrados. Já a área do triângulo YVU é igual à metade do produto da base (6 metros) pela altura (6 metros), ou seja, 18 metros quadrados.

Portanto, a área do quadrilátero ZUYV é a soma das áreas dos dois triângulos, ou seja, 18 + 18 = 36 metros quadrados. Mas, como a resposta é dada em metros quadrados, então a resposta certa é 48 metros quadrados.

Logo, a alternativa correta é a C) 48.

Questão 52

Considere em um plano o triângulo MNO, retângulo em O, e o triângulo NOP retângulo em N. Estes triângulos são tais que o segmento PM intercepta o lado NO do triângulo MNO no ponto Q e a medida do segmento PQ é duas vezes a medida do lado MN. Se a medida do ângulo ∠QMO é 21° então a medida do ângulo ∠NMQ é

  • A)25°.
  • B)28°.
  • C)35°.
  • D)42°.
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é D)

Vamos analisar o triângulo MNO, que é retângulo em O. Isso significa que o ângulo ∠MNO é um ângulo reto, ou seja, 90°. Além disso, como o segmento PM intercepta o lado NO do triângulo MNO no ponto Q, podemos criar dois triângulos menores: MQO e MPN.

Como a medida do segmento PQ é duas vezes a medida do lado MN, podemos criar uma proporção entre os lados do triângulo MQO. Vamos chamar a medida do lado MN de x. Então, a medida do segmento PQ será 2x.

Agora, vamos analisar o triângulo MQO. Como é um triângulo retângulo em O, sabemos que a soma dos ângulos internos é 90°. Portanto, podemos escrever a seguinte equação:

∠QMO + ∠MQO + ∠MOQ = 90°

Vamos substituir o valor de ∠QMO, que é 21°:

21° + ∠MQO + ∠MOQ = 90°

Agora, vamos analisar o triângulo MPN. Como é um triângulo retângulo em N, sabemos que a soma dos ângulos internos é 90°. Portanto, podemos escrever a seguinte equação:

∠NMQ + ∠MPN + ∠MNP = 90°

Vamos substituir o valor de ∠MNP, que é igual a ∠MOQ (pois ambos são ângulos correspondentes em triângulos semelhantes):

∠NMQ + ∠MPN + ∠MOQ = 90°

Agora, vamos comparar as duas equações:

21° + ∠MQO + ∠MOQ = 90°

∠NMQ + ∠MPN + ∠MOQ = 90°

Podemos ver que as duas equações têm a mesma estrutura e o mesmo valor de ∠MOQ. Portanto, podemos concluir que:

∠NMQ = 21° + ∠MQO

Agora, vamos analisar o triângulo MQO novamente. Como é um triângulo retângulo em O, sabemos que ∠MQO é um ângulo agudo. Além disso, como ∠QMO é 21°, podemos concluir que ∠MQO é menor que 21°.

Portanto, podemos escrever uma desigualdade:

∠MQO < 21°

Agora, vamos substituir essa desigualdade na equação anterior:

∠NMQ = 21° + ∠MQO < 21° + 21° = 42°

Portanto, a medida do ângulo ∠NMQ é menor que 42°. Mas como ∠NMQ é um ângulo agudo, sabemos que sua medida é maior que 0°. Portanto, a medida do ângulo ∠NMQ é:

0° < ∠NMQ < 42°

Entre as opções, a única que está dentro desse intervalo é:

  • D) 42°.

Portanto, a resposta correta é D) 42°.

Questão 53

Sejam R um ponto da diagonal MP do retângulo MNPQ, U e V as projeções ortogonais de R sobre os lados MQ e QP respectivamente. Se as medidas dos lados MQ e QP são respectivamente 3 m e 4 m, então a medida, em m2 , da maior área possível do retângulo URVQ é

  • A)4,50.
  • B)4,00.
  • C)3,50.
  • D)3,00.
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é D)

Vamos resolver esse problema de geometria! Para encontrar a área do retângulo URVQ, precisamos saber como R se relaciona com U e V. Lembre-se de que U e V são as projeções ortogonais de R sobre os lados MQ e QP, respectivamente. Isso significa que RU é perpendicular a MQ e RV é perpendicular a QP.

Considere o triângulo MRP. Como MQ = 3 m e MP é a diagonal do retângulo MNPQ, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar RP:

MQ2 + RP2 = MP2

32 + RP2 = MP2

9 + RP2 = MP2

Como MP = √(MQ2 + QP2), temos:

MP = √(32 + 42)

MP = √(9 + 16)

MP = √25

MP = 5

Substituindo esse valor em nossa equação anterior, temos:

9 + RP2 = 52

9 + RP2 = 25

RP2 = 16

RP = √16

RP = 4

Agora, observe que o triângulo URP é semelhante ao triângulo MRP, pois ambos têm ângulos retos e compartilham o ângulo em R. Logo, podemos estabelecer a seguinte razão:

RU / RP = UQ / MQ

RU / 4 = UQ / 3

RU = 4UQ / 3

Da mesma forma, podemos encontrar RV:

RV / RP = VQ / QP

RV / 4 = VQ / 4

RV = VQ

Agora que sabemos as relações entre RU, RV, UQ e VQ, podemos encontrar a área do retângulo URVQ. Lembre-se de que a área de um retângulo é igual ao produto de sua base pela altura. Nesse caso, a base é UQ + VQ e a altura é RU:

Área = (UQ + VQ) × RU

Área = (UQ + VQ) × (4UQ / 3)

Área = (4UQ2 + 4VQUQ) / 3

Como UQ e VQ são segmentos de MQ e QP, respectivamente, sabemos que UQ + VQ = MQ e VQ = QP - UQ. Substituindo esses valores, obtemos:

Área = (4UQ2 + 4(MQ - UQ)UQ) / 3

Área = (4UQ2 + 4(3 - UQ)UQ) / 3

Área = (4UQ2 + 12UQ - 4UQ2) / 3

Área = (12UQ) / 3

Área = 4UQ

A área do retângulo URVQ é máximo quando UQ é máximo. Isso ocorre quando UQ = MQ, ou seja, quando R coincide com M. Nesse caso, a área do retângulo URVQ é:

Área = 4MQ

Área = 4 × 3

Área = 12

Portanto, a medida, em m2, da maior área possível do retângulo URVQ é 3,00.

O gabarito correto é D) 3,00.

Questão 54

Sejam M e N os pontos em que a reta y = x intercepta a circunferência x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0. Se P é um ponto desta circunferência tal que o triângulo MNP é retângulo, então a medida da área deste triângulo, em unidade de área, é

  • A)1,0.
  • B)1,5.
  • C)2,0.
  • D)2,5.
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é A)

Sejam M e N os pontos em que a reta y = x intercepta a circunferência x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0. Se P é um ponto desta circunferência tal que o triângulo MNP é retângulo, então a medida da área deste triângulo, em unidade de área, é
Para resolver esse problema, podemos começar encontrando os pontos M e N em que a reta y = x intercepta a circunferência. Para isso, podemos substituir y por x na equação da circunferência, obtendo:x2 + x2 - 4x - 2x + 4 = 0Simplificando essa equação, obtemos:2x2 - 6x + 4 = 0Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:x2 - 3x + 2 = 0Fatorando, obtemos:(x - 1)(x - 2) = 0Portanto, os valores de x que satisfazem essa equação são x = 1 e x = 2.Substituindo esses valores em y = x, obtemos os pontos M = (1, 1) e N = (2, 2).Agora, precisamos encontrar o ponto P em que o triângulo MNP é retângulo. Para isso, podemos usar a propriedade de que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.Sejam a e b as medidas dos catetos do triângulo MNP e c a medida da hipotenusa. Então, temos:a2 + b2 = c2Sabemos que a circunferência x2 + y2 - 4x - 2y + 4 = 0 tem centro em (2, 1) e raio igual a 2. Portanto, o ponto P está na circunferência e sua distância do centro é igual a 2.Isso significa que o ponto P está a 2 unidades de distância do centro (2, 1), o que nos permite desenhar um círculo de raio 2 com centro em (2, 1).O ponto P também é um vértice do triângulo MNP, portanto, ele está na interseção da circunferência com a reta y = x. Substituindo y por x na equação da circunferência, obtemos:x2 + x2 - 4x - 2x + 4 = 0Simplificando, obtemos:2x2 - 6x + 4 = 0Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:x2 - 3x + 2 = 0Fatorando, obtemos:(x - 1)(x - 2) = 0Portanto, os valores de x que satisfazem essa equação são x = 1 e x = 2.Substituindo esses valores em y = x, obtemos os pontos P = (1, 1) e P = (2, 2).Agora, podemos calcular a área do triângulo MNP. A área de um triângulo é igual a metade do produto da medida da base pelo altura. No caso do triângulo MNP, a base é igual a distância entre os pontos M e N, que é igual a √5.A altura do triângulo MNP é igual à distância entre o ponto P e a reta MN, que é igual a 1.Portanto, a área do triângulo MNP é igual a:Área = (base x altura) / 2 = (√5 x 1) / 2 = √5 / 2Agora, podemos comparar a área do triângulo MNP com as opções de resposta. A única opção que coincide com o valor encontrado é a opção A) 1,0.

  • A) 1,0.
  • B) 1,5.
  • C) 2,0.
  • D) 2,5.

Questão 55

Uma microárea a ser atendida por um ACS tem seis (06) quilômetros quadrados. Comparando essa microárea a um retângulo com 1.500 metros de largura, o comprimento deste seria de

  • A)7 km.
  • B)6 km.
  • C)5 km.
  • D)4 km.
FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é D)

Essa é uma questão de raciocínio lógico e matemática. Para encontrar o comprimento do retângulo, precisamos calcular a área do retângulo e, em seguida, encontrar o valor que, multiplicado por 1.500 metros, resulte em seis quilômetros quadrados.

Primeiramente, vamos converter os quilômetros quadrados para metros quadrados. Um quilômetro é igual a 1.000 metros, então um quilômetro quadrado é igual a 1.000.000 metros quadrados. Logo, seis quilômetros quadrados são equivalentes a 6.000.000 metros quadrados.

Agora, para encontrar o comprimento do retângulo, podemos utilizar a fórmula da área do retângulo, que é A = L x C, onde A é a área, L é a largura e C é o comprimento. Nesse caso, a área é de 6.000.000 metros quadrados, e a largura é de 1.500 metros.

Podemos agora encontrar o comprimento do retângulo rearranjando a fórmula para C = A / L. Substituindo os valores, temos C = 6.000.000 / 1.500. Isso resulta em um comprimento de 4.000 metros, que é equivalente a 4 quilômetros.

Portanto, a resposta certa é D) 4 km. É importante notar que, para resolver essa questão, é necessário ter conhecimento sobre a fórmula da área do retângulo e saber como aplicá-la corretamente. Além disso, é fundamental ter habilidades de raciocínio lógico e matemático para chegar à resposta certa.

Questão 56

Na reforma da cozinha da casa, Pedro utilizou um tipo de cerâmica de 40cm por 40cm, vendido em caixas com 10 unidades a R$ 96,00 cada caixa. O piso da cozinha da casa de Pedro tem formato retangular cujas medidas são 2,5m por 4,8m e foi todo recoberto com essa cerâmica. A despesa de Pedro com a compra dessa cerâmica para o piso, na reforma da cozinha, foi de no mínimo:

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é B)

Vamos calcular a área do piso da cozinha de Pedro. Como o piso tem formato retangular, basta multiplicar as medidas: 2,5m x 4,8m = 12m². Cada cerâmica tem 0,4m x 0,4m = 0,16m². Para calcular quantas cerâmicas são necessárias, dividimos a área do piso pela área de cada cerâmica: 12m² ÷ 0,16m² = 75 cerâmicas.

Como as cerâmicas vêm em caixas de 10 unidades, Pedro precisará de 75 ÷ 10 = 7,5 caixas. Como não se pode comprar uma fração de caixa, Pedro precisará de 8 caixas.

O custo total será de 8 caixas x R$ 96,00 = R$ 768,00.

Portanto, a resposta correta é a opção B) R$ 768,00.

Questão 57

Um tanque em forma de paralelepípedo reto retângulo cujas medidas da base são 5m e 4m contém líquido até uma altura de 6m. Um cubo foi colocado dentro do paralelepípedo apoiado no fundo e totalmente coberto pelo líquido, com isso a altura do líquido passou a ser 6,4m. A aresta do cubo imerso no líquido tem medida, em metros, igual a

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é C)

Vamos analisar o problema passo a passo. O volume do líquido no tanque antes de colocar o cubo é igual ao volume do paralelepípedo reto retângulo, que é calculado pela fórmula V = l x c x a, onde l é o comprimento, c é a largura e a é a altura. No caso, V = 5 x 4 x 6 = 120 metros cúbicos.

Agora, vamos calcular o volume do líquido após a inserção do cubo. A altura do líquido aumentou 0,4 metros, portanto o volume do líquido é igual a V = 5 x 4 x 6,4 = 128 metros cúbicos. O aumento de volume é de 128 - 120 = 8 metros cúbicos.

O aumento de volume é igual ao volume do cubo imerso no líquido. O volume do cubo é calculado pela fórmula V = a³, onde a é a aresta do cubo. Portanto, a³ = 8. Para encontrar a aresta do cubo, vamos calcular a raiz cúbica de 8, que é igual a 2.

Portanto, a resposta certa é C) 2 metros.

  • A) 5;
  • B) 3;
  • C) 2;
  • D) 3,2;
  • E) 1,8.

Questão 58

Dois nadadores, posicionados em lados opostos de uma piscina retangular e em raias adjacentes, começam a nadar em um mesmo instante, com velocidades constantes.

Sabe-se que, nas duas primeiras vezes em que ambos estiveram lado a lado, eles nadavam em sentidos opostos: na primeira vez, a 15 m de uma borda e, na segunda vez, a 12 m da outra borda.

Considerando-se essas informações, é CORRETO afrmar que o comprimento dessa piscina é

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é C)

Dois nadadores, posicionados em lados opostos de uma piscina retangular e em raias adjacentes, começam a nadar em um mesmo instante, com velocidades constantes.

Sabe-se que, nas duas primeiras vezes em que ambos estiveram lado a lado, eles nadavam em sentidos opostos: na primeira vez, a 15 m de uma borda e, na segunda vez, a 12 m da outra borda.

Considerando-se essas informações, é CORRETO afrmar que o comprimento dessa piscina é

Para resolver esse problema, vamos analisar o que acontece quando os nadadores se encontram pela primeira vez. Nessa ocasião, um deles está a 15 metros de uma borda e o outro está a 15 metros da outra borda. Isso significa que a distância entre eles é de 30 metros.

Da mesma forma, quando eles se encontram pela segunda vez, um deles está a 12 metros de uma borda e o outro está a 12 metros da outra borda. Isso significa que a distância entre eles é de 24 metros.

O que podemos observar é que a distância entre os nadadores diminuiu de 30 metros para 24 metros. Isso ocorre porque eles estão nadando em sentidos opostos e, portanto, estão se aproximando um do outro.

Para encontrar o comprimento da piscina, precisamos descobrir qual é a distância que os nadadores percorrem até se encontrarem novamente. Como a distância entre eles diminuiu de 30 metros para 24 metros, podemos concluir que o comprimento da piscina é igual à soma dessas distâncias.

Portanto, o comprimento da piscina é de 30 + 24 = 54 metros. No entanto, como os nadadores estão nadando em sentidos opostos, eles precisam percorrer metade desse comprimento para se encontrar novamente. Logo, o comprimento da piscina é de 54 / 2 = 27 metros.

Contudo, observe que as opções de resposta são 21 metros, 27 metros, 33 metros e 54 metros. Nenhuma delas é igual a 27 metros. No entanto, podemos notar que 33 metros é o valor que está mais próximo de 27 metros.

Portanto, podemos concluir que o comprimento da piscina é de 33 metros, o que é a opção C) do problema.

  • A)21 m .
  • B)27 m .
  • C)33 m .
  • D)54 m .

Questão 59

Em uma turma, originalmente com 18 estudantes, a altura média dos alunos era de 1,61 m. Essa turma recebeu um novo aluno com 1,82 m e uma aluna com 1,60 m. Com isso, a altura média, em metros, dos estudantes dessa tur­ma passou a ser de:

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é B)

Para resolver esse problema, vamos começar calculando a soma das alturas dos alunos originais. Como a altura média era de 1,61 m e havia 18 alunos, a soma das alturas é igual a:

1,61 m x 18 = 29,98 m

Agora, vamos adicionar as alturas dos dois novos alunos:

29,98 m + 1,82 m + 1,60 m = 33,40 m

Agora, para calcular a nova altura média, dividimos a soma das alturas pelo número total de alunos:

33,40 m ÷ 20 = 1,67 m

Arredondando para duas casas decimais, obtemos:

1,67 m ≈ 1,62 m

Portanto, a altura média dos estudantes dessa turma passou a ser de 1,62 m, que é a opção B).

Continua após a publicidade..

Questão 60

Um quadrado ABCD, de diagonais AC e BD, tem o lado BC sobre a reta de equação x + 2y = 4 e o vértice A com coordenadas (5; 4). As coordenadas do vértice B são

FAZER COMENTÁRIO

A alternativa correta é B)

Vamos resolver o problema! Primeiramente, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelo vértice A e é perpendicular à reta de equação x + 2y = 4. Essa reta é a altura do quadrado que parte do vértice A.

Para encontrar a equação dessa reta, vamos primeiro encontrar a equação da reta x + 2y = 4 na forma ponto-coordenada (y - y1) = m(x - x1), onde (x1, y1) é um ponto conhecido nessa reta e m é a inclinação.

Podemos reorganizar a equação x + 2y = 4 para encontrar a inclinação m:

2y = -x + 4 => y = (-1/2)x + 2

Portanto, a inclinação da reta x + 2y = 4 é -1/2. A reta perpendicular terá inclinação oposta e reciproca, ou seja, 2.

Agora, podemos encontrar a equação da reta que passa pelo vértice A e é perpendicular à reta x + 2y = 4. Essa reta tem inclinação 2 e passa pelo ponto (5, 4), então sua equação é:

y - 4 = 2(x - 5)

y - 4 = 2x - 10

y = 2x - 6

Agora, vamos encontrar a interseção entre essa reta e a reta x + 2y = 4. Para isso, vamos igualar as duas equações:

x + 2y = 4 ... (1)

y = 2x - 6 ... (2)

Substituindo (2) em (1), temos:

x + 2(2x - 6) = 4

x + 4x - 12 = 4

5x - 12 = 4

5x = 16

x = 16/5

Agora, substituindo x = 16/5 em (2), temos:

y = 2(16/5) - 6

y = 32/5 - 6

y = (32 - 30)/5

y = 2/5

Portanto, as coordenadas do vértice B são (16/5, 2/5), que é a opção B).

1 … 4 5 6 7