Sejam M e N os pontos em que a reta y = x intercepta a circunferência x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0. Se P é um ponto desta circunferência tal que o triângulo MNP é retângulo, então a medida da área deste triângulo, em unidade de área, é

Sejam M e N os pontos em que a reta y = x intercepta a circunferência x² + y² - 4x - 2y + 4 = 0. Se P é um ponto desta circunferência tal que o triângulo MNP é retângulo, então a medida da área deste triângulo, em unidade de área, é
Para resolver esse problema, podemos começar encontrando os pontos M e N em que a reta y = x intercepta a circunferência. Para isso, podemos substituir y por x na equação da circunferência, obtendo:x² + x² - 4x - 2x + 4 = 0Simplificando essa equação, obtemos:2x² - 6x + 4 = 0Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:x² - 3x + 2 = 0Fatorando, obtemos:(x - 1)(x - 2) = 0Portanto, os valores de x que satisfazem essa equação são x = 1 e x = 2.Substituindo esses valores em y = x, obtemos os pontos M = (1, 1) e N = (2, 2).Agora, precisamos encontrar o ponto P em que o triângulo MNP é retângulo. Para isso, podemos usar a propriedade de que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa.Sejam a e b as medidas dos catetos do triângulo MNP e c a medida da hipotenusa. Então, temos:a² + b² = c²Sabemos que a circunferência x² + y² - 4x - 2y + 4 = 0 tem centro em (2, 1) e raio igual a 2. Portanto, o ponto P está na circunferência e sua distância do centro é igual a 2.Isso significa que o ponto P está a 2 unidades de distância do centro (2, 1), o que nos permite desenhar um círculo de raio 2 com centro em (2, 1).O ponto P também é um vértice do triângulo MNP, portanto, ele está na interseção da circunferência com a reta y = x. Substituindo y por x na equação da circunferência, obtemos:x² + x² - 4x - 2x + 4 = 0Simplificando, obtemos:2x² - 6x + 4 = 0Dividindo ambos os lados por 2, obtemos:x² - 3x + 2 = 0Fatorando, obtemos:(x - 1)(x - 2) = 0Portanto, os valores de x que satisfazem essa equação são x = 1 e x = 2.Substituindo esses valores em y = x, obtemos os pontos P = (1, 1) e P = (2, 2).Agora, podemos calcular a área do triângulo MNP. A área de um triângulo é igual a metade do produto da medida da base pelo altura. No caso do triângulo MNP, a base é igual a distância entre os pontos M e N, que é igual a √5.A altura do triângulo MNP é igual à distância entre o ponto P e a reta MN, que é igual a 1.Portanto, a área do triângulo MNP é igual a:Área = (base x altura) / 2 = (√5 x 1) / 2 = √5 / 2Agora, podemos comparar a área do triângulo MNP com as opções de resposta. A única opção que coincide com o valor encontrado é a opção A) 1,0.

• A) 1,0.
• B) 1,5.
• C) 2,0.
• D) 2,5.