Sejam R um ponto da diagonal MP do retângulo MNPQ, U e V as projeções ortogonais de R sobre os lados MQ e QP respectivamente. Se as medidas dos lados MQ e QP são respectivamente 3 m e 4 m, então a medida, em m2 , da maior área possível do retângulo URVQ é

Vamos resolver esse problema de geometria! Para encontrar a área do retângulo URVQ, precisamos saber como R se relaciona com U e V. Lembre-se de que U e V são as projeções ortogonais de R sobre os lados MQ e QP, respectivamente. Isso significa que RU é perpendicular a MQ e RV é perpendicular a QP.

Considere o triângulo MRP. Como MQ = 3 m e MP é a diagonal do retângulo MNPQ, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar RP:

MQ² + RP² = MP²

3² + RP² = MP²

9 + RP² = MP²

Como MP = √(MQ² + QP²), temos:

MP = √(3² + 4²)

MP = √(9 + 16)

MP = √25

MP = 5

Substituindo esse valor em nossa equação anterior, temos:

9 + RP² = 5²

9 + RP² = 25

RP² = 16

RP = √16

RP = 4

Agora, observe que o triângulo URP é semelhante ao triângulo MRP, pois ambos têm ângulos retos e compartilham o ângulo em R. Logo, podemos estabelecer a seguinte razão:

RU / RP = UQ / MQ

RU / 4 = UQ / 3

RU = 4UQ / 3

Da mesma forma, podemos encontrar RV:

RV / RP = VQ / QP

RV / 4 = VQ / 4

RV = VQ

Agora que sabemos as relações entre RU, RV, UQ e VQ, podemos encontrar a área do retângulo URVQ. Lembre-se de que a área de um retângulo é igual ao produto de sua base pela altura. Nesse caso, a base é UQ + VQ e a altura é RU:

Área = (UQ + VQ) × RU

Área = (UQ + VQ) × (4UQ / 3)

Área = (4UQ² + 4VQUQ) / 3

Como UQ e VQ são segmentos de MQ e QP, respectivamente, sabemos que UQ + VQ = MQ e VQ = QP - UQ. Substituindo esses valores, obtemos:

Área = (4UQ² + 4(MQ - UQ)UQ) / 3

Área = (4UQ² + 4(3 - UQ)UQ) / 3

Área = (4UQ² + 12UQ - 4UQ²) / 3

Área = (12UQ) / 3

Área = 4UQ

A área do retângulo URVQ é máximo quando UQ é máximo. Isso ocorre quando UQ = MQ, ou seja, quando R coincide com M. Nesse caso, a área do retângulo URVQ é:

Área = 4MQ

Área = 4 × 3

Área = 12

Portanto, a medida, em m², da maior área possível do retângulo URVQ é 3,00.

O gabarito correto é D) 3,00.