Um quadrado ABCD, de diagonais AC e BD, tem o lado BC sobre a reta de equação x + 2y = 4 e o vértice A com coordenadas (5; 4). As coordenadas do vértice B são

Vamos resolver o problema! Primeiramente, precisamos encontrar a equação da reta que passa pelo vértice A e é perpendicular à reta de equação x + 2y = 4. Essa reta é a altura do quadrado que parte do vértice A.

Para encontrar a equação dessa reta, vamos primeiro encontrar a equação da reta x + 2y = 4 na forma ponto-coordenada (y - y1) = m(x - x1), onde (x1, y1) é um ponto conhecido nessa reta e m é a inclinação.

Podemos reorganizar a equação x + 2y = 4 para encontrar a inclinação m:

2y = -x + 4 => y = (-1/2)x + 2

Portanto, a inclinação da reta x + 2y = 4 é -1/2. A reta perpendicular terá inclinação oposta e reciproca, ou seja, 2.

Agora, podemos encontrar a equação da reta que passa pelo vértice A e é perpendicular à reta x + 2y = 4. Essa reta tem inclinação 2 e passa pelo ponto (5, 4), então sua equação é:

y - 4 = 2(x - 5)

y - 4 = 2x - 10

y = 2x - 6

Agora, vamos encontrar a interseção entre essa reta e a reta x + 2y = 4. Para isso, vamos igualar as duas equações:

x + 2y = 4 ... (1)

y = 2x - 6 ... (2)

Substituindo (2) em (1), temos:

x + 2(2x - 6) = 4

x + 4x - 12 = 4

5x - 12 = 4

5x = 16

x = 16/5

Agora, substituindo x = 16/5 em (2), temos:

y = 2(16/5) - 6

y = 32/5 - 6

y = (32 - 30)/5

y = 2/5

Portanto, as coordenadas do vértice B são (16/5, 2/5), que é a opção B).