Questões Sobre Regra de Três Simples - Matemática - concurso

O problema apresentado envolve uma situação de proporcionalidade entre o número de funcionários e o tempo necessário para realizar um trabalho específico: organizar as cadeiras em um auditório. Inicialmente, 6 funcionários levaram 3 horas para concluir a tarefa. A questão pergunta quanto tempo seria necessário se 20 funcionários, com a mesma produtividade, realizassem o mesmo trabalho.

Para resolver esse tipo de problema, utilizamos o conceito de "homem-hora", que relaciona a quantidade de trabalhadores ao tempo gasto. A lógica é que o trabalho total pode ser expresso como o produto do número de funcionários pelo tempo que eles trabalham. No caso inicial, temos:

6 funcionários × 3 horas = 18 homem-horas

Esse valor representa a quantidade total de trabalho necessário para organizar as cadeiras. Se agora temos 20 funcionários, mantendo a mesma produtividade, o tempo necessário (T) pode ser encontrado pela equação:

20 funcionários × T = 18 homem-horas

Isolando T, temos:

T = 18 homem-horas / 20 funcionários = 0,9 horas

Para converter horas em minutos, multiplicamos por 60:

0,9 horas × 60 minutos/hora = 54 minutos

Portanto, a resposta correta é a alternativa D) 54, como indicado no gabarito.

Esse tipo de problema é comum em situações que envolvem planejamento de recursos e gestão de tempo, destacando a importância de entender relações de proporcionalidade inversa, onde um aumento no número de trabalhadores reduz o tempo necessário para concluir uma tarefa.

O consumo consciente de água é uma prática essencial para a preservação dos recursos naturais, e pequenas mudanças nos hábitos diários podem gerar impactos significativos. Um exemplo claro disso está na redução do tempo de banho e no fechamento do registro durante o ensaboamento.

No cenário apresentado, um banho de ducha de 15 minutos consome 135 litros de água. Isso significa que o fluxo de água é de 9 litros por minuto (135 litros ÷ 15 minutos). Ao adotar medidas de economia - fechar o registro enquanto se ensaboa e reduzir o tempo com água corrente para 5 minutos - o consumo cai para apenas 45 litros (5 minutos × 9 litros/minuto).

A diferença entre o consumo original e o reduzido é de 90 litros (135 litros - 45 litros), o que representa uma economia substancial. Essa quantidade corresponde à alternativa C) no questionamento proposto.

Essa simples mudança de comportamento não apenas beneficia o meio ambiente, como também pode representar uma redução significativa na conta de água no final do mês, demonstrando como atitudes individuais podem ter efeitos coletivos positivos.

Para resolver o problema, vamos analisar a situação passo a passo:

1. Total de trabalho: 4 operários × 20 dias = 80 operários-dia.

2. Trabalho realizado nos primeiros 6 dias: 4 operários × 6 dias = 24 operários-dia.

3. Trabalho restante: 80 - 24 = 56 operários-dia.

4. Nova equipe a partir do 7º dia: 4 operários iniciais + 4 novos operários = 8 operários.

5. Dias necessários para concluir o serviço: 56 operários-dia ÷ 8 operários = 7 dias.

6. Total de dias: 6 dias iniciais + 7 dias = 13 dias.

Portanto, a manutenção demorou um total de 13 dias, conforme a alternativa B).

O problema apresentado envolve uma situação de produção industrial em que 12 máquinas idênticas produzem um lote de peças em 5 dias. A questão pede para determinar quantas máquinas seriam necessárias para produzir o mesmo lote em um prazo menor, reduzido para 3 dias, mantendo as mesmas condições operacionais.

Para resolver esse tipo de problema, é fundamental compreender a relação inversamente proporcional entre o número de máquinas e o tempo de produção. Quanto mais máquinas estiverem trabalhando, menos tempo será necessário para concluir a mesma quantidade de peças, desde que todas as máquinas tenham a mesma capacidade produtiva.

Podemos estabelecer a seguinte proporção:

12 máquinas — 5 dias
X máquinas — 3 dias

Como a relação é inversamente proporcional, multiplicamos as grandezas correspondentes:

12 × 5 = X × 3
60 = 3X
X = 60 ÷ 3
X = 20

Portanto, seriam necessárias 20 máquinas para produzir o mesmo lote de peças em apenas 3 dias. Isso confirma que a alternativa correta é a letra C) 20.

Esse tipo de cálculo é muito útil em situações práticas de planejamento industrial, permitindo ajustar a capacidade produtiva de acordo com prazos e demandas específicas. O raciocínio aplicado demonstra como a matemática pode ser utilizada para resolver problemas reais de otimização de recursos.

Uma gráfica utiliza uma máquina capaz de produzir até 30 chapas em uma hora e meia de trabalho. Isto significa dizer que, trabalhando 6 horas, essa máquina conseguirá produzir, no máximo, a seguinte quantidade de chapas:

• A) 130
• B) 120
• C) 100
• D) 110

O gabarito correto é B) 120.

O problema apresentado envolve uma pessoa que deseja comprar um sítio, utilizando recursos próprios e empréstimos, e exige a análise das alternativas para identificar qual delas é falsa. Com base nos dados fornecidos, podemos deduzir as seguintes informações:

1. A quantia x corresponde a 30% do valor total do sítio. Portanto, se chamarmos o valor do sítio de V, temos que x = 0,3V.

2. Se a pessoa vender seu apartamento e juntar esse valor a x, ela poderá pagar o sítio e ainda sobrarão R$15.000,00. Isso significa que o valor do apartamento (A) mais x é igual ao valor do sítio mais R$15.000,00, ou seja, A + x = V + 15.000.

3. Antes de vender o apartamento, a pessoa pegou um empréstimo de R$60.000,00 e juntou a x, efetuando parte do pagamento. Ficou devendo 2/5 do valor total do sítio, o que significa que ela pagou 3/5V com x + 60.000. Portanto, x + 60.000 = 3/5V.

A partir dessas equações, podemos resolver para encontrar os valores desconhecidos. Substituindo x = 0,3V na terceira equação, temos:

0,3V + 60.000 = 0,6V

Resolvendo, encontramos:

0,6V - 0,3V = 60.000

0,3V = 60.000

V = 200.000

Assim, o valor do sítio é R$200.000,00. Substituindo novamente, encontramos x = 0,3 × 200.000 = 60.000.

Na segunda equação, temos:

A + 60.000 = 200.000 + 15.000

A = 215.000 - 60.000

A = 155.000

Portanto, o valor do apartamento é R$155.000,00.

Agora, analisando as alternativas:

A) O valor do sítio é maior que R$180.000,00. Verdadeiro, pois V = R$200.000,00.

B) Com a quantia x (R$60.000,00), pode-se comprar um carro de R$55.000,00 e ainda sobra dinheiro. Verdadeiro, pois sobrariam R$5.000,00.

C) A quantia x mais os R$60.000,00 somam menos de R$130.000,00. Verdadeiro, pois 60.000 + 60.000 = R$120.000,00.

D) O valor do apartamento corresponde a 3/4 do valor do sítio. Falso, pois 3/4 de R$200.000,00 seria R$150.000,00, mas o apartamento vale R$155.000,00.

Portanto, a alternativa D é a falsa, conforme indicado no gabarito.

O problema apresentado envolve um investidor que realiza uma operação financeira complexa, tomando um empréstimo e aplicando o valor em um título cambial. Para entender qual a variação do euro que empata a aposta, precisamos analisar os custos e os ganhos envolvidos na operação.

O investidor pegou R$ 1 milhão emprestado a uma taxa de 10% ao ano. Isso significa que, ao final do período, ele deverá pagar R$ 1.100.000 (R$ 1 milhão + 10% de juros). Por outro lado, ele aplicou esse mesmo valor em um título que rende a variação do euro mais 4% ao ano. Para que a operação termine empatada, o valor resgatado do título deve ser exatamente igual ao valor devido pelo empréstimo.

Matematicamente, podemos expressar essa condição da seguinte forma:

1.000.000 × (1 + variação do euro + 0,04) = 1.100.000

Simplificando a equação:

1 + variação do euro + 0,04 = 1,1

variação do euro = 1,1 - 1 - 0,04

variação do euro = 0,06 ou 6%

No entanto, precisamos considerar que os juros do título (4%) são aplicados sobre o valor já corrigido pela variação cambial. Portanto, a fórmula correta seria:

1.000.000 × (1 + variação do euro) × (1 + 0,04) = 1.100.000

Resolvendo:

(1 + variação do euro) × 1,04 = 1,1

1 + variação do euro = 1,1 / 1,04

variação do euro = (1,1 / 1,04) - 1

variação do euro ≈ 0,0577 ou 5,77%

Portanto, a variação do euro que empata a operação é de aproximadamente 5,77%, o que corresponde à alternativa C).

Esse cálculo demonstra a importância de considerar corretamente a composição dos rendimentos em operações financeiras, especialmente quando envolvem componentes cambiais e de juros simultaneamente.

O gerente de uma distribuidora de combustíveis verificou que seus custos fixos são de R$ 170.000,00 e seus custos variáveis são de R$ 1,79 por litro de combustível. Sabendo-se que o preço de venda do combustível pela transportadora é de R$ 2,13 por litro de combustível, o ponto de equilíbrio da distribuidora, em litros de combustível, é de:

• A) 79.813
• B) 94.973
• C) 257.576
• D) 304.300
• E) 500.000

O gabarito correto é E) 500.000.

O conceito de custo marginal é fundamental na análise econômica das empresas, pois representa a variação no custo total quando se produz uma unidade adicional. No caso apresentado, temos uma situação onde o custo total médio diminui quando a produção aumenta de 100 para 101 unidades por dia, passando de R$ 10,00 para R$ 9,95 por unidade.

Para calcular o custo marginal nesse intervalo, devemos considerar que o custo total inicial (para 100 unidades) era de R$ 1.000,00 (100 unidades × R$ 10,00/unidade). Ao produzir 101 unidades, o novo custo total passa a ser R$ 1.004,95 (101 unidades × R$ 9,95/unidade). Portanto, o custo marginal da 101ª unidade é de R$ 4,95 (R$ 1.004,95 - R$ 1.000,00), valor significativamente menor que R$ 10,00.

Esta análise demonstra que, no nível de produção de 100 unidades diárias, o custo marginal é menor que o custo médio (R$ 10,00), o que explica a redução no custo médio quando a produção aumenta. Essa relação é típica de situações onde a empresa está operando com economias de escala, aproveitando melhor sua capacidade produtiva.

Portanto, a alternativa correta é de fato a B) menor que R$ 10,00/unidade, pois o cálculo do custo marginal mostra claramente um valor inferior ao custo médio vigente no ponto de produção original.

Para resolver o problema, vamos seguir os passos necessários para determinar se a maior quantia aplicada foi superior a R$ 14.200,00.

Primeiramente, consideramos que os três amigos aplicaram quantias proporcionais aos números 3, 5 e 7. Vamos chamar essas partes de 3x, 5x e 7x, respectivamente. Como os juros são simples e a taxa é de 3% ao mês, o montante de cada aplicação após 6 meses pode ser calculado da seguinte forma:

Montante = Capital × (1 + taxa × tempo)

Para cada amigo, temos:

• Amigo 1 (3x): Montante = 3x × (1 + 0,03 × 6) = 3x × 1,18 = 3,54x
• Amigo 2 (5x): Montante = 5x × (1 + 0,03 × 6) = 5x × 1,18 = 5,90x
• Amigo 3 (7x): Montante = 7x × (1 + 0,03 × 6) = 7x × 1,18 = 8,26x

A soma dos montantes ao final de 6 meses é R$ 35.400,00. Portanto:

3,54x + 5,90x + 8,26x = 35.400

17,70x = 35.400

x = 35.400 / 17,70

x = 2.000

Agora, podemos calcular a maior quantia aplicada, que corresponde a 7x:

7x = 7 × 2.000 = R$ 14.000,00

O problema afirma que a maior quantia aplicada foi superior a R$ 14.200,00. No entanto, conforme nossos cálculos, o valor correto é R$ 14.000,00, que é inferior a R$ 14.200,00. Portanto, a afirmação está incorreta.

Conclusão: O gabarito correto é E) ERRADO.