A expressão sen(x+y) + sen(x – y)/cos(x+y) + cos(x – y) equivale a

Agora, vamos analisar passo a passo essa expressão para entender por que a resposta certa é A) tgx.

Vamos começar utilizando as fórmulas de trigonometria que relacionam as funções seno e cosseno de soma e diferença de ângulos.

Para a primeira parcela, sen(x+y), podemos utilizar a fórmula de soma de ângulos:

sen(x+y) = sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)

Já para a segunda parcela, sen(x-y), podemos utilizar a fórmula de diferença de ângulos:

sen(x-y) = sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y)

Agora, vamos substituir essas expressões na equação original:

sen(x+y) + sen(x-y)/cos(x+y) + cos(x-y) =

(sen(x)cos(y) + cos(x)sen(y)) + (sen(x)cos(y) - cos(x)sen(y))/cos(x+y) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

Para simplificar essa expressão, vamos separar as parcelas que dependem de x e y:

sen(x)(cos(y) + cos(y)/cos(x+y)) + cos(x)(sen(y) - sen(y)/cos(x+y)) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

Agora, podemos observar que os termos cos(y) e -sen(y) se cancelam:

sen(x)(1/cos(x+y)) + cos(x)sen(y)(1 - 1/cos(x+y)) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

Em seguida, podemos utilizar a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1 para reescrever a expressão:

sen(x)/cos(x+y) + cos(x)sen(y)(1 - 1/cos(x+y)) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

(sen(x)/cos(x+y))/(sen²(x) + cos²(x)) + cos(x)sen(y)(1 - 1/cos(x+y)) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

sen(x)/cos(x) + cos(x)sen(y)(1 - 1/cos(x+y)) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

tgx + cos(x)sen(y)(1 - 1/cos(x+y)) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

Agora, podemos observar que as parcelas que dependem de y se cancelam:

tgx + cos(x)sen(y) - cos(x)sen(y)/cos(x+y) + cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y)

tgx

Portanto, a resposta certa é A) tgx.