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A soma das raízes da equação cos 2x + cos 4x = 0, no intervalo [0 , π], é
A soma das raízes da equação cos 2x + cos 4x = 0, no intervalo [0 , π], é
- A)0
- B)π/2
- C)π
- D)3π/2
- E)2π/3
Resposta:
A alternativa correta é D)
Vamos resolver a equação dada: cos 2x + cos 4x = 0.
Para encontrar as raízes, devemos lembrar que cos 2x = -cos 4x. Isso significa que os valores de x que satisfazem a equação são os mesmos que satisfazem a equação cos 2x + (-cos 4x) = 0.
Agora, podemos utilizar a identidade trigonométrica cos a + cos b = 2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2). Nesse caso, a = 2x e b = 4x.
Substituindo esses valores, obtemos: 2cos(3x)cos(x) = 0.
Isso significa que cos(3x) = 0 ou cos(x) = 0.
Para encontrar as raízes de cos(3x) = 0, devemos encontrar os valores de x tais que 3x seja igual a π/2 + kπ, onde k é um inteiro. Isso dá 3x = π/2 + kπ → x = π/6 + kπ/3.
Já para encontrar as raízes de cos(x) = 0, devemos encontrar os valores de x tais que x seja igual a π/2 + kπ. Isso dá x = π/2 + kπ.
Agora, devemos encontrar a soma das raízes no intervalo [0, π].
As raízes de cos(3x) = 0 no intervalo [0, π] são π/6, π/2 e 5π/6.
Já as raízes de cos(x) = 0 no intervalo [0, π] são π/2 e π.
A soma dessas raízes é π/6 + π/2 + 5π/6 + π/2 + π = 3π/2.
Portanto, a resposta correta é D) 3π/2.
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