Considere a circunferência B, cuja equação no plano cartesiano é x ² + y ² – 8x + 10y + 21 = 0. Qual das equações abaixo descreve uma circunferência que tangencia B? 

Vamos começar pelo princípio: uma circunferência tangente à circunferência B deve ter um ponto em comum com ela, pois são tangentes. Além disso, ambas devem ter o mesmo raio no ponto de tangência.

Para encontrar a equação da circunferência B, podemos reorganizar a equação dada:

x² + y² - 8x + 10y + 21 = 0

Primeiramente, vamos completar os quadrados:

x² - 8x + 16 + y² + 10y + 25 = 16 + 25 - 21

(x - 4)² + (y + 5)² = 20

Portanto, a circunferência B tem centro em (4, -5) e raio √20.

Agora, vamos analisar cada uma das opções:

• A) A equação (x + 1)² + (y - 2)² = 15 representa uma circunferência com centro em (-1, 2) e raio √15. Este centro não coincide com o centro da circunferência B, portanto, não é uma opção válida.
• B) A equação (x + 2)² + (y + 2)² = 5 representa uma circunferência com centro em (-2, -2) e raio √5. Note que o ponto (-2, -2) está sobre a circunferência B. Além disso, o raio √5 é menor que o raio √20 da circunferência B. Isso significa que a circunferência B é externa à circunferência descrita por essa equação e, portanto, são tangentes.
• C) A equação (x - 3)² + (y - 1)² = 3 representa uma circunferência com centro em (3, 1) e raio √3. Este centro não coincide com o centro da circunferência B, portanto, não é uma opção válida.
• D) A equação (x - 7)² + (y - 2)² = 10 representa uma circunferência com centro em (7, 2) e raio √10. Este centro não coincide com o centro da circunferência B, portanto, não é uma opção válida.
• E) A equação (x + 3)² + (y + 2)² = 9 representa uma circunferência com centro em (-3, -2) e raio √9. Este centro não coincide com o centro da circunferência B, portanto, não é uma opção válida.

Portanto, a resposta correta é, de fato, a opção B).