Considere a função f (x) = sin x, π/4 ≤ x ≤ 3π/4 e o conjuntoA = {(x,y) ∈ R² : π/4 ≤ x ≤ 3 π/ 4, 0 ≤ y ≤ /(x)} .Assinale a opção que expressa o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno do eixo dos x. 

Vamos resolver essa questão de forma detalhada e passo a passo. Primeiramente, precisamos entender o que está sendo pedido. Queremos encontrar o volume do sólido obtido pela rotação do conjunto A em torno do eixo dos x.

O conjunto A é definido como A = {(x,y) ∈ R² : π/4 ≤ x ≤ 3π/4, 0 ≤ y ≤ sin(x)}. Isso significa que o conjunto A é um retângulo no plano xy, com x variando de π/4 a 3π/4 e y variando de 0 a sin(x).

Quando rotacionamos esse conjunto em torno do eixo dos x, estamos criando um sólido de revolução. O volume desse sólido pode ser encontrado utilizando a fórmula do método do disco.

A fórmula do método do disco é dada por V = π∫[a, b] (f(x))^2 dx, onde f(x) é a função que define a altura do disco em cada ponto x, e [a, b] é o intervalo em que x varia.

No nosso caso, a função f(x) é a função seno, então f(x) = sin(x). Além disso, o intervalo em que x varia é de π/4 a 3π/4.

Portanto, podemos escrever a integral como V = π∫[π/4, 3π/4] (sin(x))^2 dx. Para resolver essa integral, podemos utilizar a identidade trigonométrica (sin(x))^2 = (1 - cos(2x))/2.

Substituindo essa identidade na integral, obtemos V = π∫[π/4, 3π/4] ((1 - cos(2x))/2) dx. Agora, podemos separar a integral em duas partes: V = (π/2)∫[π/4, 3π/4] dx - (π/2)∫[π/4, 3π/4] cos(2x) dx.

A primeira integral é fácil de resolver, pois é uma integral de uma constante. Obtemos V = (π/2)(3π/4 - π/4) - (π/2)∫[π/4, 3π/4] cos(2x) dx.

A segunda integral é um pouco mais complicada. Para resolvê-la, podemos utilizar a substituição u = 2x, o que implica du/dx = 2 e dx = du/2. Além disso, os limites de integração se transformam em π/2 e 3π/2.

Portanto, a integral se torna V = (π/2)(π/2) - (π/4)∫[π/2, 3π/2] cos(u) du. Agora, podemos resolver a integral utilizando a definição da função coseno.

Obtemos V = (π/2)(π/2) - (π/4)(sin(3π/2) - sin(π/2)). Simplificando essa expressão, chegamos ao resultado V = π/4(π + 2).

Portanto, a opção correta é a C) π/4(π + 2).