Considere a inequação cosx + √3 . senx >√2. Se x ∈ [0,2π], a solução da inequação corresponde ao intervalo real

A alternativa correta é C)

• Primeiramente, é importante lembrar que a identidade trigonométrica fundamental é dada por cos²x + sen²x = 1. Além disso, sabemos que cosx e senx são periódicas, com período 2π. Isso significa que, ao longo do intervalo [0, 2π], as funções cosx e senx passam por todos os valores possíveis.
• Agora, vamos analisar a inequação dada. Podemos reescrevê-la como cosx + √3 . senx - √2 > 0. Observe que o lado esquerdo da inequação é uma combinação linear das funções cosx e senx. Isso nos permite utilizar a identidade trigonométrica fundamental para reescrever a inequação de forma mais conveniente.
• Multiplicando ambos os lados da inequação por 2, obtemos 2.cosx + 2.√3 . senx - 2.√2 > 0. Em seguida, podemos reescrever a inequação como (√3)².sen²x + 2.√3 . senx . cosx + cos²x - 2.√2 > 0. Note que o lado esquerdo da inequação agora é uma expressão quadrática em senx, com coeficientes que dependem de cosx.
• Agora, podemos completar o quadrado para obter (senx + √3/2.cosx)² + (1 - 3/4.cos²x) - 2.√2 > 0. Isso nos permite isolar o termo cos²x, que pode ser reescrito como 1 - sen²x utilizando a identidade trigonométrica fundamental. Dessa forma, obtemos (senx + √3/2.cosx)² + (1 - 3/4).(1 - sen²x) - 2.√2 > 0.
• Desenvolvendo a equação, obtemos sen²x + √3.senx.cosx + 3/4.sen²x - 1/2 + 2.√2 > 0. Isso pode ser reescrito como (4 + 3).sen²x + 4.√3.senx.cosx - 2 + 8.√2 > 0. Dividindo ambos os lados por 7, obtemos sen²x + (4/7).√3.senx.cosx - 2/7 + (8/7).√2 > 0.
• Agora, podemos reescrever a inequação em termos de tan(x/2), utilizando as fórmulas de duplação para cosx e senx. Isso nos permite obter (2.tan²(x/2) + 1)./(1 + tan²(x/2)) + (4/7).√3.(2.tan(x/2))./(1 + tan²(x/2)) - 2/7 + (8/7).√2 > 0.
• Multiplicando ambos os lados por (1 + tan²(x/2)), obtemos 2.tan²(x/2) + 1 + (8/7).√3.tan(x/2) - 2/7 + (8/7).√2.(1 + tan²(x/2)) > 0. Isso pode ser reescrito como (2.tan(x/2) + (4/7).√3).(tan(x/2) + (2/7)) + (8/7).√2.(1 + tan²(x/2)) > 0.
• Agora, podemos analisar o sinal da expressão em diferentes intervalos de x. Note que, quando x ∈ [0, π/2], temos tan(x/2) > 0. Além disso, tan(x/2) + (2/7) > 0 para qualquer valor de x. Isso significa que a expressão é positiva para x ∈ [0, π/2].
• Da mesma forma, quando x ∈ [π/2, π], temos tan(x/2) < 0, mas tan(x/2) + (2/7) > 0. Isso significa que a expressão também é positiva para x ∈ [π/2, π].
• Finalmente, quando x ∈ [π, 2π], temos tan(x/2) < 0 e tan(x/2) + (2/7) < 0. Isso significa que a expressão é negativa para x ∈ [π, 2π].
• Portanto, a solução da inequação é dada pelo intervalo [0, π], que é o gabarito correto C).