Considere x um arco do 3º quadrante e cotangente de x igual a ctg x. Se sen x = – √2/2, então o valor de A = tg x + 2/ctg2x é

Vamos analisar o problema passo a passo. Como x está no 3º quadrante, sabemos que a tangente de x é negativa. Além disso, como sen x = - √2/2, podemos encontrar o valor de cos x utilizando a identidade fundamental da trigonometria: sen²x + cos²x = 1.

Substituindo sen x = - √2/2, obtemos:

(- √2/2)² + cos²x = 1

cos²x = 1 - 1/2 = 1/2

cos x = ± √1/2 = ± 1/√2 ( Como x está no 3º quadrante, cos x é positivo. Portanto, cos x = 1/√2 )

Agora, podemos encontrar o valor de tg x:

tg x = sen x / cos x = (- √2/2) / (1/√2) = - √2/2 / (1/√2) = - √2/2 * √2/1 = -1/√2

Para encontrar o valor de ctg x, podemos utilizar a identidade ctg x = 1 / tg x:

ctg x = 1 / (-1/√2) = - √2

Agora, podemos calcular o valor de A:

A = tg x + 2/ctg²x

A = (-1/√2) + 2/(- √2)²

A = (-1/√2) + 2/2

A = (-1/√2) + 1

A = (√2 - 1) / √2 + 1

A = (√2 - 1 + √2) / √2

A = (√2 + √2 - 1) / √2

A = (2√2 - 1) / √2

A = (2 - √2/√2) / 1

A = (2 - 1) / 1

A = 3/1

A = 3

Portanto, o gabarito correto é D) 3.